Matematyka.pl

Mam takie oto zadanie: Profesor nie zdążył pokazać nam jak takie zadania się rozwiązuje, więc byłbym wdzięczny, gdyby ktoś pokazał schemat na rozwiązanie zadań tego typu

Oczywiście to nie jest jedyne podejście.

• Można z

  Kod: Zaznacz cały

  https://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e_twierdzenie_Fermata

  \(\displaystyle{ \sf{MTF}}\) zauważyć, że
  
  \(\displaystyle{ \begin{split}
  2222^{5555} + 5555^{2222}
  &\equiv (2222 \bmod 7)^{5555 \bmod \varphi(7)} + (5555 \bmod 7)^{2222 \bmod \varphi(7)} \\
  &\equiv 3^5 + 4^2 \\
  &\equiv 0.
  \end{split}}\)

• Można zauważyć, że wystarczy pokazać podzielność \(\displaystyle{ 4^{2222}-4^{5555}}\) przez \(\displaystyle{ 7}\). To jednak wynika ze wzoru na równicę \(\displaystyle{ n}\)-tych potęg. Wszak
  
  \(\displaystyle{ 4^{2222}-4^{5555}=(4^2)^{1111}-(4^5)^{1111}}\)
  Zatem wyrażanie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4^2-4^5}\), które faktoryzuje się między innymi przez \(\displaystyle{ 7}\).