Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ \max_{|z|=1} |z^3-z+2|.}\)

\(\displaystyle{ |z|=1 \ \ \Rightarrow \ \ z=\cos \alpha +i\sin \alpha \\
z^3-z+2=\cos 3 \alpha +i\sin 3\alpha -(\cos \alpha +i\sin \alpha)+2=
(\cos 3 \alpha -\cos \alpha +2) +i(\sin 3 \alpha -\sin \alpha) \\
|z^3-z+2|= \sqrt{(\cos 3 \alpha -\cos \alpha +2)^2+(\sin 3 \alpha -\sin \alpha)^2 } = \sqrt{6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha } \\
\\
\max_{|z|=1} |z^3-z+2|=\max \sqrt{ 6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha }= \sqrt{ \max \left[ 6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha \right] } \\

\left[ 6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha\right]'_ \alpha =...=-12\sin \alpha (\cos \alpha - \frac{1}{2} )(\cos \alpha - \frac{1}{3})}\)
Maksima występują dla \(\displaystyle{ \alpha _1=k \cdot 180^o \ \ \vee \ \ \alpha _2=60^o+k \cdot 360^o \ \ \vee \ \ \alpha _3=-60^o+k \cdot 360^o}\)
\(\displaystyle{ |z^3-z+2|_{ \alpha _1}= \sqrt{2}\\
|z^3-z+2|_{ \alpha _2}= |z^3-z+2|_{ \alpha _3}= 1 }\)

Dla `z=1` mamy `|z^3-z+2|=2`, więc powyższe raczej nie jest dobre

Jest dobrze do tego momentu

kerajs pisze: 22 cze 2023, o 05:56 \(\displaystyle{ \max_{|z|=1} |z^3-z+2|=\max \sqrt{ 6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha }= \sqrt{ \max \left[ 6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha \right] } }\)

dalej nie sprawdzałem. Oczywiście maksima są po \(\displaystyle{ \alpha\in[0,2\pi]}\), choć możnaby wyrażanie pod pierwiastkiem i maksimum zapisać w postacie: \(\displaystyle{ 16 \cos ^3 \alpha -4 \cos ^2 \alpha -16 \cos \alpha +8}\). Wprowadzając nową zmienną \(\displaystyle{ t=\cos \alpha }\), dla \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\) otrzymamy problem optymalizacji wielomianu \(\displaystyle{ 16t^3-4t^2-16t+8}\). I standardowymi metodami można się przekonać, że \(\displaystyle{ t=-1/2}\) daje maksimum na \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Więc \(\displaystyle{ \max_{|z|=1} |z^3-z+2|= \sqrt{13} }\).

możnaby wyrażanie pod pierwiastkiem

Wykres w programie Mathematica

Ech, te błędy rachunkowe.

\(\displaystyle{
\left[ 6-4\cos \alpha -2\cos 2 \alpha +4\cos 3 \alpha\right]'_ \alpha =...=-48\sin \alpha (\cos \alpha + \frac{1}{2} )(\cos \alpha - \frac{2}{3})}\)
Maksima występują dla \(\displaystyle{ \alpha _1=k \cdot 360^o \ \ \vee \ \ \alpha _2=120^o+k \cdot 360^o \ \ \vee \ \ \alpha _3=-120^o+k \cdot 360^o}\)
maksima lokalne:
\(\displaystyle{ |z^3-z+2|_{ \alpha=\alpha _1}= \sqrt{4}=2\\
|z^3-z+2|_{ \alpha=\alpha _2}=| \frac{7}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} | = \sqrt{13}\\
|z^3-z+2|_{ \alpha=\alpha _3}=| \frac{7}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} | = \sqrt{13}}\)