Matematyka.pl

Tak mnie jakoś naszło... Czy istnieje jakikolwiek związek między przeliczalną zwartością a scentrowaną rodziną (definicja standardowa, czyli tam przekrój niepusty itd, wzięta chociażby z "Topologii ogólnej" Engelkinga)?? Bo np. ciągowa zwartość i pokryciowa w przestrzeniach metrycznych/metryzowalnych (w tym przypadku chyba na jedno wychodzi) są sobie równoważne, ale przeliczalna chyba niekoniecznie musi być równoważna ciągowej ani pokryciowej. Chyba wszystkie pary równoważności podstawowych rodzajów zwartości (ciągowa, pokryciowa, przeliczalna) wymieniłem, ale jeśli o którejś zapomniałem, to proszę o uzupełnienie.

Przestrzeń metryczna przeliczalnie zwarta jest zwarta, zobacz tutaj W ogólności (bez założenia metryzowalności) tak być nie musi. Kontrprzykładem jest \(\displaystyle{ \omega_1}\) (pierwsza nieprzeliczalna liczba porządkowa).

Inna ciekawa zależność mówi, że każda przestrzeń ciągowo zwarta jest przeliczalnie zwarta, ale nie na odwrót. Kontrprzykłady to \(\displaystyle{ [0,1]^{\mathbb R}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta \mathbb N}\).