Matematyka.pl

Dwa okręty płyną po torach wzajemnie prostopadłych z jednakowymi prędkościami \(\displaystyle{ v=5 \frac{m}{s} }\). Pierwszy z nich ucieka, a drugi zbliża się do punktu przecięcia się torów. Pod jakim kątem \(\displaystyle{ \beta}\) do kierunku prędkości drugiego okrętu powinna być ustawiona lufa na tym okręcie aby wystrzelony pocisk trafił pierwszy okręt. Pocisk wylatuje z lufy z prędkością poziomą \(\displaystyle{ u=500 \frac{m}{s} }\), a strzał oddany zostanie w chwili, gdy odcinek łączący okręty tworzy kąt \(\displaystyle{ \alpha=30^{\circ}}\) z kierunkiem prędkości uciekającego okrętu.

Jak to zrobić? Nie wiem zbytnio jaki tu model przyjąć, żeby to obliczyć.

Ja bym podzielił zadanie na dwa etapy:

1. Obliczenie kąta, pod jakim musi zostać wystrzelony pocisk w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Jest to kąt pod jakim byłaby ustawiona lufa, gdyby drugi okręt stał w miejscu w chwili wystrzału.
2. Obliczenie właściwego kąta ustawienia lufy na okręcie. Kąt ten jest skorygowaniem kąta z punktu 1 w związku z tym, że drugi okręt porusza się w chwili wystrzału.

No ok, to ten kąt z punktu pierwszego wyszedł mi z twierdzenia sinusów taki:
\(\displaystyle{ \sin\beta= \frac{1}{200} }\)
Dobrze?

No ok, ale co dalej? Jak ten skorygowany kąt obliczyć?

max123321 pisze: 9 cze 2023, o 15:21 No ok, to ten kąt z punktu pierwszego wyszedł mi z twierdzenia sinusów taki:
\(\displaystyle{ \sin\beta= \frac{1}{200} }\)
Dobrze?

Oznaczenie \(\displaystyle{ \beta}\) jest niefortunne, bo \(\displaystyle{ \beta}\) oznacza z treści zadania coś innego. Doprecyzuj, o który kąt Ci chodzi.

No ok, ale co dalej? Jak ten skorygowany kąt obliczyć?

Wektor prędkości w układzie odniesienia związanym z Ziemią jest sumą wektora prędkości w układzie odniesienia związanym z okrętem i wektora prędkości okrętu.

No ok, to oznaczmy go \(\displaystyle{ \beta '}\). W każdym razie chodzi mi o ten kąt pod jakim musi zostać wystrzelony pocisk w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Jest to kąt pod jakim byłaby ustawiona lufa, gdyby drugi okręt stał w miejscu w chwili wystrzału. Według tego co napisałeś z punktu pierwszego. Wyszło mi:
\(\displaystyle{ \sin \beta '= \frac{1}{200} }\)

Czy to jest dobrze?

Według moich obliczeń do tego kąta trzeba dodać 60 stopni.

Tak, masz rację pomyliłem się, ten mój kąt \(\displaystyle{ \beta '}\) był między odcinkiem łączącym oba okręty w momencie wystrzału, a śladem ruchu pocisku względem ziemi, więc trzeba do niego dodać jeszcze te \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Czyli rozumiem, że jak wektor wypadkowy pocisku w układzie z ziemią oznaczymy \(\displaystyle{ v_w}\) to suma wektorów \(\displaystyle{ v}\) drugiego okrętu i \(\displaystyle{ u}\) pocisku względem drugiego okrętu równa jest wektorowi \(\displaystyle{ v_w}\), zgadza się? No, ale to nie wiem zbytnio co dalej. Narysowałem sobie trójkąt, którego bokami są wektory \(\displaystyle{ v,u,v_w}\) i kąt leżący na przeciwko wektora \(\displaystyle{ u}\) wynosi \(\displaystyle{ 60^\circ + \beta '}\), ale ja potrzebuję wyznaczyć kąt leżący na przeciwko wektora \(\displaystyle{ v_w}\) i nie wiem z czego skorzystać, żeby to policzyć.
Nie mam też samego \(\displaystyle{ v_w}\). Co zatem dalej?

Wiesz co, teraz się zorientowałem, że wprowadziłem Cię najprawdopodobniej w błąd, ponieważ pocisk wylatuje z lufy z inną prędkością w układzie odniesienia związanym z Ziemią i z okrętem. Trzeba to zrobić inaczej.

Zaczynając od początku:

1. Oblicz współrzędne \(\displaystyle{ (v_x,v_y)}\) wektora prędkości pocisku w układzie odniesienia związanym z Ziemią w zależności od kąta \(\displaystyle{ \beta}\).
2. Znajdź zależność między \(\displaystyle{ v_x}\) oraz \(\displaystyle{ v_y}\).
3. Podstaw i dostaniesz równanie na kąt \(\displaystyle{ \beta}\).

Rozwiązania:

Nie rozumiem za bardzo. Pocisk w układzie odniesienia związanym z ziemią ma chyba inną prędkość niż \(\displaystyle{ u=500 \frac{m}{s} }\). Prędkość \(\displaystyle{ u=500 \frac{m}{s}}\) jest chyba w układzie odniesienia związanym z okrętem. Jak to jest?

No właśnie nie jestem pewien jak interpretować treść zadania.

Jeśli \(\displaystyle{ u=500 \frac{m}{s}}\) jest w układzie odniesienia związanym z okrętem, to nie można liczyć kąta \(\displaystyle{ \beta'}\) tak jak chcieliśmy wcześniej, bo pocisk będzie się poruszał szybciej w układzie odniesienia związanym z Ziemią.

Ale ten Twój drugi sposób jest poprawny bo wychodzi około \(\displaystyle{ 60,78^\circ}\) i tyle powinno wyjść. Tylko jak możesz to spróbuj mi to wytłumaczyć bo ja nie bardzo rozumiem to, że jak liczysz współrzędne wektora prędkości w układzie odniesienia z ziemią to tam do tych \(\displaystyle{ v_x,v_y}\) podstawiasz \(\displaystyle{ u=500 \frac{m}{s} }\). Jeśli to jest w układzie związanym z ziemią to ta prędkość będzie chyba trochę większa niż \(\displaystyle{ 500 \frac{m}{s} }\), więc dlaczego w tych wektorach jest \(\displaystyle{ 500}\)?

Jak policzysz długość wektora \(\displaystyle{ (v_x,v_y)}\), to wyjdzie więcej niż \(\displaystyle{ 500}\).

A chyba rozumiem, bo ta pierwsza współrzędna \(\displaystyle{ x}\)-sowa tego wektora prędkości pocisku jest taka sama dla układu związanego z okrętem i związanego z ziemią. Bo to, że w układzie z ziemią ten pocisk przesuwa się o 5 szybciej względem pionowej osi \(\displaystyle{ y}\) niż w układzie z okrętem nie wpływa w żaden sposób na prędkość względem poziomej \(\displaystyle{ x}\)-owej osi, zgadza się? Bo tu chyba korzystasz z tego, że te ruchy w poziomie i w pionie są niezależne. No bo skąd wziąłeś te współrzędne tego wektora?

No ok, a skąd wziąłeś tę zależność między tymi składowymi wektorami?

max123321 pisze: 14 cze 2023, o 01:36 A chyba rozumiem, bo ta pierwsza współrzędna \(\displaystyle{ x}\)-sowa tego wektora prędkości pocisku jest taka sama dla układu związanego z okrętem i związanego z ziemią. Bo to, że w układzie z ziemią ten pocisk przesuwa się o 5 szybciej względem pionowej osi \(\displaystyle{ y}\) niż w układzie z okrętem nie wpływa w żaden sposób na prędkość względem poziomej \(\displaystyle{ x}\)-owej osi, zgadza się?

Zgadza się.

No ok, a skąd wziąłeś tę zależność między tymi składowymi wektorami?

Przyrównałem czasy lotu pocisku:

\(\displaystyle{ \frac s{v_y}=\frac{s\sqrt{3}+\frac{s}{v_y}\cdot 5}{v_x},}\)

gdzie \(\displaystyle{ s}\) to odległość drugiego okręgu od środka układu w chwili wystrzału.

Intryguje mnie dlaczego pomijacie opadanie pocisku skoro to strzał (rzut) poziomy ?
Są też inne kwestie, ale mniej ważkie.

PS
Można było od razu:
\(\displaystyle{ \tg 60^o= \frac{500\sin \beta -5}{500\cos \beta +5} }\)