Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
\(\displaystyle{ (...(((2\star 3)\star 4)\star 5)\star...) \star 1995,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x\star y = \frac{x+y}{1+xy} }\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y }\) dodatnich.
2. Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_0=1 \ \ a_1=3,}\) \(\displaystyle{ a_{n+2}= \begin{cases} a_{n+1}+9a_n \ \ ; \ 2| n \\ 9a_{n+1}+5a_n \ \ ; \ 2 \nmid n. \end{cases} }\)
Udowodnij, że:
(a) liczba \(\displaystyle{ \sum_{k=1995}^{2000} a^2_k}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 20,}\)
(b) nie jest kwadratem liczby naturalnej dla każdego \(\displaystyle{ n.}\)
3. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x+1}, }\) gdzie \(\displaystyle{ x>0.}\) Dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) przyjmujemy
Udowodnij, że:
(a) funkcja \(\displaystyle{ g_n}\) jest ściśle rosnąca, tzn. \(\displaystyle{ g_n(x)>g_n(y)}\), jeśli \(\displaystyle{ x>y>0,}\)
(b) \(\displaystyle{ g_n(1)= \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_3}{F_3} +...+ \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}, }\) gdzie \(\displaystyle{ F_1=F_2=1}\) oraz \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n }\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\).
4. Niech \(k\) i \(n\) będą takimi liczbami całkowitymu, że \(1\geq k \geq n\). Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a_1,a_2,...,a_k\) spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+a_2+...+a_k \ = \ n \\ a_1^2+a_2^2+ ...+ a_k^2 \ = \ n \\ ... \\ a_1^k+a_2^k+...+a_k^k \ = \ n,\end{cases} }\)
to dla każdego rzeczywistego \(x\) prawdziwa jest równość \(\displaystyle{
(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_k)=x^k+ {n \choose 1} x^{k-1} + {n \choose 2} x^{k-2}+...+ {n \choose k}. }\)
5. Rozwiąż układ równań
\begin{cases} x+\log(x+\sqrt{x^2+1} \ = \ y \\ y+\log(y+\sqrt{y^2+1} \ = \ z \\ z+\log(z+\sqrt{z^2+1} \ = \ x. \end{cases}
6. Dana jest liczba rzeczywista \(\alpha\). Wyznacz wszystkie funckje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+}\) spełniające dla wszelkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}_+}\) równanie \(\displaystyle{ \alpha \cdot x^2 \cdot f \biggl( \frac{1}{x}\biggr)+f(x)= \frac{x}{x+1}. }\)
Re: [MIX][Zadania różne] ze starych olimpiad
: 8 cze 2023, o 13:32
autor: Janusz Tracz
1 obserwacja:
Działanie \(\displaystyle{ \star}\) jest łącznie i przemienne. Czyli nawiasy i kolejność nie odgrywają roli w tym napisie.
3 bez monotoniczności:
Po policzeniu kilku pierwszych złożeń \(\displaystyle{ f}\) można postawić hipotezę, że:
\(\displaystyle{ (\underbrace{f\circ \dots \circ f}_{n \text{ razy }})(x)=\frac{F_n+F_{n-1}x}{F_{n+1}+F_nx},}\)
gdzie \(\displaystyle{ n\ge 1}\), \(\displaystyle{ F_0=0}\), \(\displaystyle{ F_1=1}\), \(\displaystyle{ F_2=1}\). Dowodzimy prawdziwości tej obserwacji indukcyjnie. To pozwala od razu wykazać podpunkt (ii) w tym zadaniu. Zostało pokazać monotoniczności...
Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).
arek1357 pisze: ↑12 cze 2023, o 17:23
Gość twierdzi że nie napisał...
Nic takiego nie twierdził, czytaj uważnie...
JK
Re: [MIX][Zadania różne] ze starych olimpiad
: 13 cze 2023, o 09:40
autor: arek1357
Twierdził na pw w sposób niejawny
Re: [MIX][Zadania różne] ze starych olimpiad
: 13 cze 2023, o 12:04
autor: a4karo
Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32
Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).
Uważasz, że to nie jest to właśnie?
Re: [MIX][Zadania różne] ze starych olimpiad
: 13 cze 2023, o 12:30
autor: Janusz Tracz
Moim zdaniem w wypowiedziach a4karo, JK oraz arek1357nie ma sprzeczności.
a4karo twierdzisz, że to co napisał arek1357 to to samo co napisałem ja. I masz rację, to jest dokładnie to samo. Ale arek1357 nie twierdzi inaczej. Mimo, że dla nas (tu zebranych) jest to tym samym to Zefir_a prosił o rozpisanie i to rozpisanie uzyskał od areka1357. arek1357 po prostu zmaterializował zdanie
Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32
Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).
I pokazał jak się je w znaczkach matematycznych zapisuje. Nawet tu
arek1357 pisze: ↑12 cze 2023, o 17:23
Gość twierdzi że nie napisał...
Jan Kraszewski pisze: ↑12 cze 2023, o 19:15
Nic takiego nie twierdził, czytaj uważnie...
JK
Nie widzę sprzeczności. Fakt, dosłownie nigdzie nie padło tu stwardzenie Zefir_a, że nie napisałem tego układu wiec JK ma rację. Ale skoro prosił o wyjaśnienie tego zadania to niejawnie twierdził, że moje rozwiązanie nie wystarczy i arek1357 mu to wyjaśnienie dał. Wyjaśnieniem był akt zamiany zdania
Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32
Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).
na
arek1357 pisze: ↑12 cze 2023, o 12:02
Masz układ równań:
otrzymam coś takiego: \(\displaystyle{ f(x)-\alpha f(x)= \frac{x-\alpha x^2}{x+1} }\) co jest równoważne, że- \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x(\alpha x -1)}{x+1}\cdot \frac{1}{\alpha -1} }\). A to nie jest istotne?