Strona 1 z 1
Nierownosc z 3 zmiennymi
: 7 cze 2023, o 00:53
autor: Mlodsza
Przy zalozeniu \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9}\)
wykazac, ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+ \frac{1}{\sqrt{y^2+xz+3}}+ \frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\geq 1 }\)
Pierwsza moja mysl: wykazac, ze funkcja-lewa strona nierownosci ma na danej kuli minimum rowne 1. Rachuny koszmarne i nic nie dadza, widac na oko. Potem sprawdzilam, czy przypadkiem kazdy ze skladnikow nie jest wiekszy lub rowny jednej trzeciej. Pudlo. Dopelnienia do kwadratu tez do niczego nie doprowadzily.
Moze ktos mily wpadnie na jakis pomysl, ktorym zechcialby sie potem podzielic?
Re: Nierownosc z 3 zmiennymi
: 7 cze 2023, o 01:29
autor: Janusz Tracz
Lemacik. Gdy
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9}\) to
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{x^2+yz+3} \times \sqrt{y^2+xz+3} \times \sqrt{z^2+xy+3} } \le 3.}\)
Dowód.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ (x^2+yz+3) (y^2+xz+3) (z^2+xy+3) } \le \frac{x^2+yz+3 + y^2+xz+3 + z^2+xy+3}{3} \le \frac{9+9+9}{3}.}\)
Pierwsza nierówność to
\(\displaystyle{ \sf{AM-GM}}\), kolejna to trzy fakty
- \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9,}\)
- \(\displaystyle{ xy+xz+yz\le x^2+y^2+z^2\leq 9,}\)
- \(\displaystyle{ 3+3+3\le 9.}\)
Zatem, znów z
\(\displaystyle{ \sf{AM-GM}}\) oraz lematu
\(\displaystyle{
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+& \frac{1}{\sqrt{y^2+xz+3}} + \frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}} \\[2ex]
&= \frac{\sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3} + \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{z^2+xy+3} + \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} }{\sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3}}\\[2ex]
&\ge 3 \frac{ \sqrt[3]{ (x^2+yz+3) (y^2+xz+3) (z^2+xy+3) } }{\sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3}}\\[2ex]
&= \frac{3}{\sqrt[3]{ \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3} } } \\[2ex]
&\ge \frac{3}{3} =1.
\end{split}
}\)
Re: Nierownosc z 3 zmiennymi
: 7 cze 2023, o 10:54
autor: Premislav
Można również w ten sposób:
z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną mamy
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}}{3}\ge \frac{3}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\),
tudzież
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\ge \frac{9}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\).
Wystarczy zatem wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\), to
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}\le 9}\).
To jednak nie nastręcza specjalnych trudności: na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową (pierwsze przejście) i prostej nierówności w rzeczywistych \(\displaystyle{ ab\le \frac{a^2+b^2}{2}}\) (drugie przejście) jest:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}{3}\le \sqrt{\frac{x^2+yz+3+y^2+zx+3+z^2+xy+3}{3}}\\\le \sqrt{\frac{x^2+\frac{y^2+z^2}{2}+3+y^2+\frac{z^2+x^2}{2}+3+z^2+\frac{x^2+y^2}{2}+3}{3}}=\sqrt{3+\frac 2 3(x^2+y^2+z^2)}.}\)
Pozostaje skorzystać z warunków zadania, które zapewniają nam \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\).
Re: Nierownosc z 3 zmiennymi
: 7 cze 2023, o 18:01
autor: Mlodsza
Lajki lajkami, a odzielnie podziekowac obydwu milym panom, tez mozna, mam nadzieje, co tez i czynie.
@Janusz Tracz, starczylo mi sily woli, zeby tylko zapoznac sie z lemacikiem, a potem dokonczyc samodzielnie
