Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ \sqrt[4]{17 - x^2 }= 3- \sqrt{x} }\)

\(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=\red{-64+108 \sqrt{x}-54x+12x^ \frac{3}{2} -2x^2}}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{x},}\) \(\displaystyle{ \red{(-2t^4+12t^3-54t^2+108t-64)}=0}\)
\(\displaystyle{ (t-2)(t-1)(t^2-3t+16)=0}\)
\(\displaystyle{ t=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=4, x=1}\)

Dynia5 pisze: ↑6 cze 2023, o 12:03 \(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=\red{-64+108 \sqrt{x}-54x+12x^ \frac{3}{2} -2x^2}}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{x},}\) \(\displaystyle{ \red{(-2t^4+12t^3-54t^2+108t-64)}=0}\)
\(\displaystyle{ (t-2)(t-1)(t^2-3t+16)=0}\)
\(\displaystyle{ t=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=4, x=1}\)

No ale to rozwiązanie jest niepoprawne (czy może raczej nie do końca poprawne). Sprawdziłeś, czy otrzymane pierwiastki równania faktycznie spełniają równanie mola?

JK

\(\displaystyle{ \sqrt{x} = t, \ \ t\geq 0.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{17 -t^4} = 3-t, \ \ }\)

\(\displaystyle{ 17-t^4\geq 0 \wedge 3-t\geq 0.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{17 -t^4} = 3-t, \ \| ^{4} }\)

\(\displaystyle{ 17 - t^4 = (3-t)^4,}\)

\(\displaystyle{ 17 -t^4 = (9-6t +t^2)^2 = 81 -108t +36t^2 +18t^2 -12 t^3 +t^4}\)

\(\displaystyle{ 2t^4 -12t^3 +54t^2 -108t +64 =0 \ \ | \cdot \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ t^4 -6t^3 +27t^2 -54t +32=0, \ \ t=1, \ \ t=2. }\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{x}= 1 \vee \sqrt{x}= 2) \rightarrow (x_{1}=1 \vee x_{2} = 4).}\)

Jan Kraszewski pisze: ↑6 cze 2023, o 14:16No ale to rozwiązanie jest niepoprawne (czy może raczej nie do końca poprawne). Sprawdziłeś, czy otrzymane pierwiastki równania faktycznie spełniają równanie mola?

A przepraszam, dokonałem samooszukania. To jednak dobre rozwiązanie.

JK

A bez liczenia robi się to zadanie tak:
Wstawiamy `t=\sqrt x` i zapisujemy równanie w postaci
`1+2^4=(3-t)^4+t^4`

Prawa strona jest funkcją ściśle wypukłą zmiennej `t`, więc ustaloną wartość przyjmować może co najwyżej dwa razy. A na oko widać, że dla `t=1` i dla `t=2` mamy równość.

Inna metoda z przejściem na układ równań: