Matematyka.pl

Witam, jestem w trakcie rozwiązywania zadań ze zbioru całek nieoznaczonych i trafiłem na problematyczny przykład.

Moje rozwiązanie: Odpowiedź jest prawie dobra z wyjątkiem czwórki, której w ogóle nie powinno być.

Z góry dzięki za pomoc.

Funkcja pierwotna jest wyznaczona z dokładnością co do stałej. Więc \(\displaystyle{ 4+C}\) czy \(\displaystyle{ C}\) to jedno i to samo.

Janusz Tracz pisze: 4 cze 2023, o 16:49 Funkcja pierwotna jest wyznaczona z dokładnością co do stałej. Więc \(\displaystyle{ 4+C}\) czy \(\displaystyle{ C}\) to jedno i to samo.

Dziękuję za pomoc, nie wiedziałem o tym.

Zróżniczkuj wynik. To najlepsza metoda sprawdzenia poprawności wyliczenia całki

Z twierdzenia o obliczaniu całek nieoznaczonych przez podstawienie:

\(\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f[g(t)] g'(t) dt, }\)

gdzie:

funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła w przedziale \(\displaystyle{ (a, \ \ b) }\) oraz funkcja \(\displaystyle{ g }\) ma ciągłą pochodną \(\displaystyle{ g'(t) }\) dla \(\displaystyle{ t\in (\alpha, \ \ \beta), }\)

\(\displaystyle{ x = g(t), \ \ a < g(t) < b }\) dla \(\displaystyle{ \alpha< t <\beta.}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{2} +2} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{\frac{\sqrt{x}}{2} +1} =\left [ \frac{\sqrt{x}}{2} = t, \ \ x = g(t) = (2t)^2 = 4t^2, \ \ g'(t) = 8t\right] = \frac{1}{2} \int \frac{8t}{t+1} dt = 4\int \frac{t}{t+1} dt= 4 \int \frac{(t+1)-1}{t+1} dt = }\)
\(\displaystyle{ = 4\int dt - 4\int \frac{1}{t+1}dt = 4t - 4\ln(|t+1|) + C = 4\cdot \frac{\sqrt{x}}{2} - 4\ln\left(\frac{\sqrt{x}}{2} +1\right) + C = 2\sqrt{x} - 4\ln\left(\frac{\sqrt{x}}{2} +1\right) + C.}\)

Sprawdzenie:

\(\displaystyle{ F'(x) = \left [2\sqrt{x} - 4\ln\left(\frac{\sqrt{x}}{2} +1\right) + C\right]' = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{4}{\frac{\sqrt{x}}{2} +1}\cdot \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{(\sqrt{x} + 2) \cdot \sqrt{x}}= \frac{\sqrt{x}+2-2}{(\sqrt{x}+2)\sqrt{x}} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}.}\)