Strona 1 z 1
Wykazać równość (bez używania indukcji)
: 1 cze 2023, o 11:32
autor: 41421356
Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_+ \ , \ x\neq k\pi \ , \ k\in\mathbb{Z}}\)
Wykaż, że zachodzi następującą równość:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 3x+\cdots + \sin \left(2n-1\right)x=\frac{1-\cos 2nx}{2\sin x}}\)
Jakieś pomysły?
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
: 1 cze 2023, o 12:14
autor: arek1357
wsk:
\(\displaystyle{ e^{ix}, e^{i3x}, e^{i5x},...}\)
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
: 1 cze 2023, o 12:16
autor: Janusz Tracz
\(\displaystyle{
\begin{split}
\sin x+\sin 3x+ \dots + \sin (2n-1)x &= \sum_{k=1}^{n} {\sf{Im}} \, e^{i(2k-1)x} \\[2ex]
&= {\sf{Im}} \sum_{k=1}^{n} e^{i(2k-1)x} \\[2ex]
& = \dots
\end{split}
}\)
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
: 1 cze 2023, o 12:21
autor: arek1357
To ryba nie wędka...
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
: 29 paź 2023, o 12:59
autor: 41421356
Już widzę, że wychodzi suma szeregu geometrycznego, ale nie bardzo widzę jak sensownie z tego wydobyć cześć urojoną.
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
: 29 paź 2023, o 13:03
autor: a4karo
\(\displaystyle{ z-\overline{z}=2i\mathrm{Im} z}\)