Z dwójką i trójka
: 31 maja 2023, o 13:08
Wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ 2^x = 3^{ \frac{x}{2} } + 1.}\)
Matematyka.pl
Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki
https://matematyka.pl/
Z dwójką i trójka
Strona 1 z 1
Re: Z dwójką i trójka
: 31 maja 2023, o 13:50
Dla `x\le 0` rozwiązań nie ma, bo lewa stroona jest mniejsza od `1`. Dla `x>0` funkcja `2^x-3^{x/2}` jest ściśle rosnąca, więc jedynym rozwiązaniem jest `x=2`
Re: Z dwójką i trójka
: 3 cze 2023, o 13:28
A elementarniej ? 
Re: Z dwójką i trójka
: 4 cze 2023, o 14:04
\(\displaystyle{ x= \frac{\log( \sqrt{3^x}+1) }{\log(2)} }\)
Re: Z dwójką i trójka
: 4 cze 2023, o 14:07
Ale to tylko przekształcenie równania....
Re: Z dwójką i trójka
: 4 cze 2023, o 14:11
pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ 3^ \frac{x}{2} -2x+1}\) to szukany \(\displaystyle{ x}\)
Re: Z dwójką i trójka
: 4 cze 2023, o 14:51
- \(\displaystyle{ \Big( \frac{ \sqrt{3} }{2} \Big)^x+\Big( \frac{1}{2} \Big)^x=1}\)
- \(\displaystyle{ \sin^x \frac{\pi}{3}+ \cos^x \frac{\pi}{3} =1 }\)
- lewa strona maleje
- \(\displaystyle{ x=2}\)
Re: Z dwójką i trójka
: 4 cze 2023, o 14:52
Po pierwsze źle przepisałeś przykład.
Po drugie to nie jest wielomian.
Po trzecie nie ma to żadnego związku z Twoim poprzednim postem, w którym tylko przekształciłeś równanie do zdecydowanie mniej przyjaznej formy, a nie - wbrew temu, co Ci się wydaje - wyznaczyłeś \(\displaystyle{ x}\).
JK
Re: Z dwójką i trójka
: 4 cze 2023, o 15:12
Ale można wtedy ładny wykres Cobweba zrobić:Jan Kraszewski pisze: ↑4 cze 2023, o 14:52 tylko przekształciłeś równanie do zdecydowanie mniej przyjaznej formy
Ukryta treść:
Kod: Zaznacz cały
https://sites.williams.edu/Morgan/files/2016/04/fermat-irrational-exponents.pdfLemat 1 na stronie 4 daje ogólne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ a^x+b^x=c^x}\).