Metryczność i metryzowalność
: 30 maja 2023, o 20:45
Czy ktoś umie odpowiedzieć na poniższe pytania oraz je uargumentować??? Ewentualnie poprawić, bo np. definicji przestrzeni Niemytzkiego nie jestem pewien.
1. Czy wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne?
2. Czy prawdą jest, że dowolny zbiór można zmetryzować metryką dyskretną?
3. Czy prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały obustronnie otwarte jest zbiorem nieprzeliczalnie nieskończonym (z metryką euklidesową) i w związku z tym nie spełnia warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), ponieważ pomiędzy jednym a drugim punktem zawsze istnieje nieskończenie wiele innych punktów (od razu tu mam pytanie, czy po matematycznemu to oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest gęsty, bo nie wiem czy dobrze pamiętam) oraz dalej idąc nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie jest przestrzenią metryczną?
4. Czy punkt 3, ale dla półprostej rzeczywistej też jest spełniony (ale tutaj ze względu na to, że ma tylko początek a nie ma końca, bo się rozciąga w nieskończoność)?
5. Czy nieprzeliczalnie nieskończone zbiory X z metryką euklidesową nie spełniają warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), bo zawsze istnieje nieskończenie wiele punktów między dowolnymi dwoma różnymi punktami? Czy w związku z tym nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie są przestrzeniami metrycznymi?
6. Czy aby istniała metryka, która generuje topologię, wystarczy wziąć metrykę dyskretną? Jeśli nie, to najlepiej byłoby podać kontrprzykład bądź kontrprzykłady a jeśli tak, to jakoś solidnie tego dowieść, najlepiej językiem matematycznym, ale niekoniecznie.
7. Jaka jest różnica między potocznymi wyrażeniami "metryczność" i "metryzowalność"?
8. Czy każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna? Czy każda przestrzeń topologiczna jest metryzowalna? Gdzieś wyczytałem, że nie i przykładem może być przestrzeń topologiczna z wygenerowaną przez siebie topologią dyskretną. Czy to prawda?
9. Czy podane stwierdzenia są prawdziwe?
a) Rozważmy przestrzeń Sierpińskiego, gdzie \(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \{0\}}\) domknięty a \(\displaystyle{ \{1\}}\) otwarty. Wybierzmy \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=1}\) jako punkty w przestrzeni. Niezależnie od tego jaki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) zawierający \(\displaystyle{ 0}\) wybierzemy, zawsze będzie zawierał również \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ {1}}\) jest otwarty. Oznacza to, że nie możemy znaleźć takiego zbioru otwartego, który zawierałby tylko \(\displaystyle{ 0}\), ale nie zawierałby \(\displaystyle{ 1}\). Zatem nie jest przestrzenią \(\displaystyle{ T_{1}}\) i dalej nie jest przestrzenią metryczną.
b) Przestrzeń Niemytzkiego (jeśli przekręciłem nazwisko, to z góry przepraszam) na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), w odniesieniu do zbioru \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: Re(z) > a\}}\), \(\displaystyle{ a}\) - pewna liczba rzeczywista, definiuje się poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\). Dla każdego punktu \(\displaystyle{ z=x+yi \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}}\) i dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\), definiuje się zbiór \(\displaystyle{ V(z)=\{w \in \mathbb{C}: Re(w) > Re(z)\}}\) jako otoczenie punktu \(\displaystyle{ z}\). Zatem z metryką euklidesową nie jest to przestrzeń metryczna. Jednakże z metryką "moduł" na części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\), czyli dla punktów \(\displaystyle{ z_{1}=x_{1}+y_{1}i}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=x_{2}+y_{2}i}\), gdzie \(\displaystyle{ d(z_{1}, z_{2})=\left| x_{1} - x_{2} \right|}\) już tak.
c) \(\displaystyle{ X}\) - zbiór nieskończony, topologia \(\displaystyle{ X}\) to wszystkie zbiory niezawierające punktu \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) oraz \(\displaystyle{ X \setminus F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) - skończony podzbiór \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) z metryką euklidesową jest przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny.
Prosiłbym o jak najszybszą odpowiedź
1. Czy wszystkie przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}}\) są metryczne?
2. Czy prawdą jest, że dowolny zbiór można zmetryzować metryką dyskretną?
3. Czy prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały obustronnie otwarte jest zbiorem nieprzeliczalnie nieskończonym (z metryką euklidesową) i w związku z tym nie spełnia warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), ponieważ pomiędzy jednym a drugim punktem zawsze istnieje nieskończenie wiele innych punktów (od razu tu mam pytanie, czy po matematycznemu to oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest gęsty, bo nie wiem czy dobrze pamiętam) oraz dalej idąc nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie jest przestrzenią metryczną?
4. Czy punkt 3, ale dla półprostej rzeczywistej też jest spełniony (ale tutaj ze względu na to, że ma tylko początek a nie ma końca, bo się rozciąga w nieskończoność)?
5. Czy nieprzeliczalnie nieskończone zbiory X z metryką euklidesową nie spełniają warunku \(\displaystyle{ T_{1}}\), bo zawsze istnieje nieskończenie wiele punktów między dowolnymi dwoma różnymi punktami? Czy w związku z tym nie możemy jednoznacznie określić odległości, więc nie są przestrzeniami metrycznymi?
6. Czy aby istniała metryka, która generuje topologię, wystarczy wziąć metrykę dyskretną? Jeśli nie, to najlepiej byłoby podać kontrprzykład bądź kontrprzykłady a jeśli tak, to jakoś solidnie tego dowieść, najlepiej językiem matematycznym, ale niekoniecznie.
7. Jaka jest różnica między potocznymi wyrażeniami "metryczność" i "metryzowalność"?
8. Czy każda przestrzeń metryczna jest metryzowalna? Czy każda przestrzeń topologiczna jest metryzowalna? Gdzieś wyczytałem, że nie i przykładem może być przestrzeń topologiczna z wygenerowaną przez siebie topologią dyskretną. Czy to prawda?
9. Czy podane stwierdzenia są prawdziwe?
a) Rozważmy przestrzeń Sierpińskiego, gdzie \(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \{0\}}\) domknięty a \(\displaystyle{ \{1\}}\) otwarty. Wybierzmy \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=1}\) jako punkty w przestrzeni. Niezależnie od tego jaki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) zawierający \(\displaystyle{ 0}\) wybierzemy, zawsze będzie zawierał również \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ {1}}\) jest otwarty. Oznacza to, że nie możemy znaleźć takiego zbioru otwartego, który zawierałby tylko \(\displaystyle{ 0}\), ale nie zawierałby \(\displaystyle{ 1}\). Zatem nie jest przestrzenią \(\displaystyle{ T_{1}}\) i dalej nie jest przestrzenią metryczną.
b) Przestrzeń Niemytzkiego (jeśli przekręciłem nazwisko, to z góry przepraszam) na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), w odniesieniu do zbioru \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: Re(z) > a\}}\), \(\displaystyle{ a}\) - pewna liczba rzeczywista, definiuje się poprzez wprowadzenie specjalnych otoczeń dla punktów, które są określane na podstawie ich części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\). Dla każdego punktu \(\displaystyle{ z=x+yi \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}}\) i dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\), definiuje się zbiór \(\displaystyle{ V(z)=\{w \in \mathbb{C}: Re(w) > Re(z)\}}\) jako otoczenie punktu \(\displaystyle{ z}\). Zatem z metryką euklidesową nie jest to przestrzeń metryczna. Jednakże z metryką "moduł" na części rzeczywistej \(\displaystyle{ Re(z)}\), czyli dla punktów \(\displaystyle{ z_{1}=x_{1}+y_{1}i}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=x_{2}+y_{2}i}\), gdzie \(\displaystyle{ d(z_{1}, z_{2})=\left| x_{1} - x_{2} \right|}\) już tak.
c) \(\displaystyle{ X}\) - zbiór nieskończony, topologia \(\displaystyle{ X}\) to wszystkie zbiory niezawierające punktu \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) oraz \(\displaystyle{ X \setminus F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) - skończony podzbiór \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) z metryką euklidesową jest przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny.
Prosiłbym o jak najszybszą odpowiedź