Proszę o wytłumaczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
A jak do tego dojść? Bo nie rozumiem jak to wyrażenie wychodzi z sumowania \(\displaystyle{ (n+1)}\), składników identycznych czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\)? Przecież w tym ciągu są całkiem inne wyrazy. Z ilością składników rozumiem ale dalej nie. Może ktoś wytłumaczyć bardziej szczegółowo?
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Praktyka? Ćwiczenia?
Ale tu nie ma nic więcej do tłumaczenia niż to, co napisałem w poprzednim poście. Nie odpowiedziałeś na pytanie czy rozumiesz, co to jest "szacowanie z dołu".Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 14:15Bo nie rozumiem jak to wyrażenie wychodzi z sumowania \(\displaystyle{ (n+1)}\), składników identycznych czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\)? Przecież w tym ciągu są całkiem inne wyrazy. Z ilością składników rozumiem ale dalej nie. Może ktoś wytłumaczyć bardziej szczegółowo?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Chcesz udowodnić, że suma \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) jest większa od \(\displaystyle{ \frac12.}\) Zauważ, że w tym celu wystarczy wskazać liczbę \(\displaystyle{ \red{p}}\), o której będziesz w stanie pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\red{p}}\) oraz \(\displaystyle{ \red{p}>\frac12}\). Całe to rozwiązanie (u ciebie na czerwono) polega na tym, żeby znaleźć odpowiednią liczbę \(\displaystyle{ \red{p}}\).
Jak jej szukamy? Jeżeli każdy z \(\displaystyle{ n+1}\) składników sumy \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) zmniejszymy, to suma tych zmiejszonych składników będzie niewątpliwie mniejsza od wyjściowej sumy. To zmniejszanie to właśnie "szacowanie od dołu". Można to robić na różne sposoby, ale chodzi o wybranie takiego sposobu, który pozwoli nam na osiągnięcie zamierzonego celu. Dość typową metodą szacowania takiej sumy od dołu jest oszacowanie każdego ze składników przez najmniejszy z nich, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)
(największy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), najmniejszy - \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\)).
Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)
Ponieważ zmniejszona suma składa się z \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych składników, więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}}\). Ale \(\displaystyle{ (n+1)\cdot\frac{1}{2n}=\frac12+\frac{1}{2n}>\frac12}\), czyli osiągnęliśmy zamierzony cel - nasza liczba \(\displaystyle{ \red{p}}\) to \(\displaystyle{ \red{p}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}.}\)
Bardziej szczegółowo już nie dam rady...
JK
Jak jej szukamy? Jeżeli każdy z \(\displaystyle{ n+1}\) składników sumy \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) zmniejszymy, to suma tych zmiejszonych składników będzie niewątpliwie mniejsza od wyjściowej sumy. To zmniejszanie to właśnie "szacowanie od dołu". Można to robić na różne sposoby, ale chodzi o wybranie takiego sposobu, który pozwoli nam na osiągnięcie zamierzonego celu. Dość typową metodą szacowania takiej sumy od dołu jest oszacowanie każdego ze składników przez najmniejszy z nich, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)
(największy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), najmniejszy - \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\)).
Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)
Ponieważ zmniejszona suma składa się z \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych składników, więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}}\). Ale \(\displaystyle{ (n+1)\cdot\frac{1}{2n}=\frac12+\frac{1}{2n}>\frac12}\), czyli osiągnęliśmy zamierzony cel - nasza liczba \(\displaystyle{ \red{p}}\) to \(\displaystyle{ \red{p}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}.}\)
Bardziej szczegółowo już nie dam rady...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Ty teraz napisałeś że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} }\) a nie powinno być że jest równy\(\displaystyle{ \frac{n}{2n} }\)? Nie wiem czy źle formułuje pytania bo nie możemy się coś dogadać Chodzi mi o jedną prostą rzecz autor na innym forum zapisał te dwie nierówności które dodałeś stronami w sposób uproszczony równy kolejno \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} > \frac{n}{2n} }\). Rozumiem że z sumowania ciągu złożonego z \(\displaystyle{ n}\) składników \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\), ale nie rozumiem jak ten ciąg po lewej stronie jest równy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\) .
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
A twierdziłeś, że już zrozumiałeś, że w sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) jest \(\displaystyle{ n+1}\) składników. W sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest tyle samo składników, bo każdy składnik pierwszej sumy jest szacowany z dołu przez składnik drugiej sumy. Czego nie rozumiesz w poniższym wyjaśnieniu?
A skoro w sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest \(\displaystyle{ n+1}\) składników, to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n}=\frac{n+1}{2n}.}\)Jan Kraszewski pisze: ↑29 maja 2023, o 10:30Wiesz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)
Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)
Nie, po prostu nie umiesz czytać rozumowań.
Nieprawda, on wcale nie tego nie zapisał "w sposób uproszczony równy kolejno", tylko najpierw dodał i wyszło mu \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\), a potem - w następnym kroku rozumowania - zauważył, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} > \frac{n}{2n} }\). Ja też to napisałem w swoim wytłumaczeniu, tylko trochę inaczej:
Jan Kraszewski pisze: ↑29 maja 2023, o 20:11Ponieważ zmniejszona suma składa się z \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych składników, więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}}\). Ale \(\displaystyle{ \red{(n+1)\cdot\frac{1}{2n}=\frac12+\frac{1}{2n}>\frac12}}\)
Źle rozumiesz, \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\) nie wychodzi ze zsumowania \(\displaystyle{ n}\) składników (i nikt poza Tobą nie twierdzi, że wychodzi - ani autor na tamtym forum, ani ja), tylko z oszacowania.
JK
edit: doprecyzowanie
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Znanym jest też fakt, że:
\(\displaystyle{ \ln \frac{2n+1}{n} \le \sum_{i=n}^{2n} \frac{1}{i} \le \ln \frac{2n}{n-1} }\)
\(\displaystyle{ \ln \frac{2n+1}{n} \le \sum_{i=n}^{2n} \frac{1}{i} \le \ln \frac{2n}{n-1} }\)
Ostatnio zmieniony 31 maja 2023, o 15:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
I to piszesz w wątku, gdzie człowiek ma kłopot z dodaniem kilku równych składników?
Ostatnio zmieniony 31 maja 2023, o 16:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.