Matematyka.pl

W toczących się dyskusjach na forach społecznościowych podnoszony jest problem nierównego wynagradzania kobiet i mężczyzn zatrudnionych na tych samych stanowiskach.

W celu zweryfikowania przypuszczenia, że kobiety zarabiają mniej niż mężczyźni przeprowadzono badanie ankietowe wśród 100 wylosowanych niezależnie kobiet i 80 niezależnie wylosowanych mężczyznach. Okazało się, że średnie wynagrodzenie badanych kobiet wynosiło 4180 zł z wariancją wynoszącą 6400 \(\displaystyle{ ({zł}^2)}\), badani mężczyźni zarabiali średnio 4780 zł z wariancją 10000 \(\displaystyle{ ({zł}^2)}\). Na poziomie istotności 0,01 należy sprawdzić hipotezę, że średnie płace kobiet są niższe od średnich płac mężczyzn. Jakie założenia należy przyjąć, aby dokonać takiego wnioskowania?

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu. Będę bardzo wdzięczny

Test parametryczny dla średnich płac kobiet i mężczyzn

Dane z próby

\(\displaystyle{ n_{1} = 100 }\) mężczyzn

\(\displaystyle{ n_{2} = 80 }\) kobiet

\(\displaystyle{ \overline{x}_{1} = 4780 \ \ zł. }\)

\(\displaystyle{ s^2_{1} = 10000 \ \ zł^2. }\)

\(\displaystyle{ \overline{x}_{2} = 4180 \ \ zł }\)

\(\displaystyle{ s^2_{2} = 6400 \ \ zł^2.}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 0,01. }\)

Hipotezy

\(\displaystyle{ H_{0}: \ \ mu_{1} = \mu_{2},}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: \mu_{1} > \mu_{2}.}\)

Statystyka testowa

\(\displaystyle{ Z = \frac{\overline{X}_{1} -\overline{X}_{2}}{\sqrt{\frac{S_{1}^2}{n_{1}}+ \frac{S_{2}^2}{n_{2}}}}}\)

Wartość statystyki testowej dla danych z próby

\(\displaystyle{ z = \frac{ 4780-4180}{\sqrt{\frac{10000}{100} +\frac{6400}{80}}} =\frac{600}{\sqrt{180}} \approx 45. }\)

Obszar krytyczny testu

Obszar krytyczny testu \(\displaystyle{ \mathcal{K}-}\) prawostronny.

Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R, odczytujemy wartość kwantyla \(\displaystyle{ z_{0,01} \approx 2,33.}\)

Program R
\(\displaystyle{ \mathcal{K} = \langle 2,33, +\infty).}\)

Wartość statystyki testowej \(\displaystyle{ z = 45 \in \mathcal{K} = \langle 2,33, +\infty) }\)

Hipotezę \(\displaystyle{ H_{0} }\) o równych średnich płacach mężczyzn i kobiet odrzucamy, przyjmując hipotezę \(\displaystyle{ H_{1} }\), że średnie płace mężczyzn są wyższe niż kobiet.