Lemat o wielomianie
: 26 maja 2023, o 21:49
Niech \(\displaystyle{ P(x)=(x-x_1)...(x-x_n)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x) = P(x)( \frac{1}{x-x_1}+...+ \frac{1}{x-x_n} ) }\) i niech \(\displaystyle{ y_1, .., y_{n-1} }\) będa pierwiastkami \(\displaystyle{ Q}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \min_{i \neq j } \ |x_i-x_j| < \min_{i \neq j } \ |y_i-y_j| }\).
Uwagi: liczby \(\displaystyle{ x_j }\) są różne ( \(\displaystyle{ x_i \neq x_j }\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\)).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \min_{i \neq j } \ |x_i-x_j| < \min_{i \neq j } \ |y_i-y_j| }\).
Uwagi: liczby \(\displaystyle{ x_j }\) są różne ( \(\displaystyle{ x_i \neq x_j }\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\)).