Strona 1 z 1
Wyznaczanie wartości funkcji
: 21 maja 2023, o 17:51
autor: kuba12324
Niech parametr \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^{4}+2ax^{-2} }\) dla \(\displaystyle{ x \ne 0}\). Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) nie są mniejsze niż \(\displaystyle{ 12}\)?
Re: Wyznaczanie wartości funkcji
: 21 maja 2023, o 19:14
autor: Janusz Tracz
Zauważ, że z AM-GM mamy
\(\displaystyle{ \begin{split}
x^4+ \frac{2a}{x^2}&=x^4+ \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^2} \\[2ex]
&\ge 3 \sqrt[3]{x^4 \times \frac{a}{x^2} \times \frac{a}{x^2}} \\[2ex]
&= 3 \sqrt[3]{a}.
\end{split}
}\)
Ponad to dla
\(\displaystyle{ x= \sqrt[6]{a} }\) zachodzi równość. Zatem najmniejszą wartością jest
\(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a}}\) i argument działa dla dowolnych
\(\displaystyle{ x}\) ze względu na symetrię. Ostatnia część zadania sprowadza się do nierówności
\(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a}\ge 12}\).
Re: Wyznaczanie wartości funkcji
: 21 maja 2023, o 23:26
autor: a4karo
Kwadrat zgubiłeś
Re: Wyznaczanie wartości funkcji
: 21 maja 2023, o 23:50
autor: Janusz Tracz
Fakt. Dzięki. Zamiast \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a} }\) powinno wszędzie być \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{a^2} }\).