Matematyka.pl

W urnie znajduje się 1 biała i 1 czarna kula. Wykonujemy ciag n losowań zgodnie z następującym schematem: losujemy kulę, oglądamy ją, a następnie zwracamy ją do urny i dokładamy jeszcze jedną kulę tego samego koloru. Dla \(\displaystyle{ j \in \left\{ 1,2,3,... ,n+1 \right\} }\) niech \(\displaystyle{ p_j}\), oznacza prawdopodobieństwo tego, że po n losowaniach urna zawiera dokładnie j kul białych. Udowodnić, że \(\displaystyle{ p_j= \frac{1}{n+1} }\) dla wszystkich j.

Aby po \(\displaystyle{ n}\) losowaniach było \(\displaystyle{ j}\) kul białych to biała musiała być wylosowana \(\displaystyle{ j-1}\) razy a czarna \(\displaystyle{ n-(j-1)}\). Liczba białoczarnych ciągów \(\displaystyle{ n}\) ''kulowych'' zawierających \(\displaystyle{ j-1}\) kul białych wynosi \(\displaystyle{ {n \choose j-1} }\)

\(\displaystyle{ Pj= \frac{ {n \choose j-1} (j-1)!(n-(j-1))!}{(n+1)!}= \frac{n!}{(n+1)!}= \frac{1}{n+1}}\)

Doświadczenie losowe polega na wykonaniu ciągu \(\displaystyle{ n - }\) losowań zgodnie z następującym schematem: losujemy kulę, oglądamy ją, a następnie zwracamy ją do urny i dokładamy jeszcze jedną kulę tego samego koloru.

Niech \(\displaystyle{ \Pr(j,n)\ \ 1 \leq j \leq n-1 }\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że jeżeli w urnie jest \(\displaystyle{ n }\) kul to dokładnie \(\displaystyle{ j }\) ma kolor biały.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia posłużymy się rekurencją.

W \(\displaystyle{ n }\) kulach jwest dokładnie \(\displaystyle{ j }\) kul białych, to w \(\displaystyle{ n-1 }\) kulach - \(\displaystyle{ j }\) kul musi być białych i wylosowaliśmy kulę czarną lub w \(\displaystyle{ n-1 }\) kulach jest \(\displaystyle{ j-1 }\) kul białych i wylosowaliśmy kulę białą.

Stąd prawdopodobieństwo, że jeżeli w urnie jest \(\displaystyle{ n }\) kul to po \(\displaystyle{ n }\) losowaniach, to dokładnie \(\displaystyle{ j }\) kul jest białych wyraża się równaniem rekurencyjnym:

\(\displaystyle{ \Pr(j, n) = \Pr(c)\cdot \Pr(j, n-1) +\Pr(b)\cdot \Pr(j-1, n-1) = \frac{n-1-j}{n-1}\cdot \Pr(j, n-1)+\frac{j}{n-1}\cdot \Pr(j-1, n-1) }\)

Dowód indukcyjny:

Na początku mamy dwie kule w urnie z których dokładnie \(\displaystyle{ 1 }\) jest biała,

\(\displaystyle{ P(1,2) = \frac{1}{2-1} =1. }\)

\(\displaystyle{ \Pr(j, n) = \frac{n-1-j}{n-1}\cdot \Pr(j, n-1)+\frac{j}{n-1}\cdot \Pr(j-1, n-1)= [krok \ \ indukcyjny]= \frac{n-1-j}{n-1}\cdot \frac{1}{n}+ \frac{j-1}{n-1}\cdot \frac{1}{n} = \frac {n-1 -j + j -1}{(n-1)\cdot n} =\\}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{n-1}.}\)

Dodano po 11 godzinach 18 minutach 57 sekundach:
Korekta

Doświadczenie losowe polega na wykonaniu ciągu \(\displaystyle{ n - }\) losowań zgodnie z następującym schematem: losujemy kulę, oglądamy ją, a następnie zwracamy ją do urny i dokładamy jeszcze jedną kulę tego samego koloru.

Niech \(\displaystyle{ \Pr(j,n)\ \ 1 \leq j \leq n-1 }\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że jeżeli w urnie jest \(\displaystyle{ n }\) kul to dokładnie \(\displaystyle{ j }\) ma kolor biały.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia posłużymy się rekurencją.

W \(\displaystyle{ n }\) kulach jest dokładnie \(\displaystyle{ j }\) kul białych, to w \(\displaystyle{ n-1 }\) kulach - \(\displaystyle{ j }\) kul musi być białych i wylosowaliśmy kulę czarną lub w \(\displaystyle{ n-1 }\) kulach jest \(\displaystyle{ j-1 }\) kul białych i wylosowaliśmy kulę białą.

Stąd prawdopodobieństwo, że jeżeli w urnie jest \(\displaystyle{ n }\) kul to po \(\displaystyle{ n }\) losowaniach, to dokładnie \(\displaystyle{ j }\) kul jest białych wyraża się równaniem rekurencyjnym:

\(\displaystyle{ \Pr(j, n) = \Pr(c)\cdot \Pr(j, n-1) +\Pr(b)\cdot \Pr(j-1, n-1) = \frac{n-1-j}{n-1}\cdot \Pr(j, n-1)+\frac{j}{n-1}\cdot \Pr(j-1, n-1) }\)

Dowód indukcyjny:

Na początku mamy dwie kule w urnie z których dokładnie \(\displaystyle{ 1 }\) jest biała,

\(\displaystyle{ P(1,2) = \frac{1}{2-1} =1. }\)

\(\displaystyle{ \Pr(j, n) = \frac{n-j}{n-1}\cdot \Pr(j, n-1)+\frac{j}{n-1}\cdot \Pr(j-1, n-1)= [krok \ \ indukcyjny]= \frac{n-j}{n-1}\cdot \frac{1}{n}+ \frac{j}{n-1}\cdot \frac{1}{n} = \frac {n -j + j }{(n-1)\cdot n} =\\}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{n-1}.}\)

Brakuje tezy i brakuje założenia indukcyjnego
Z rachunków można wnioskować, że założeniem indukcyjnym jest `Pr(j-1,n-1)=Pr(j,n-1)=1/n`, ale to się ma nijak do otrzymanego wyniku.