Matematyka.pl

Z urny, zawierającej n kul ponumerowanych liczbami od 1 do n, losujemy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli. Zbadać niezależność zdarzeń \(\displaystyle{ A_j}\) = {nummer j pojawił się w pierwszych j losowaniach}, j = 1, 2,..., n.

O ile prawidłowo rozumiem treść zadania to należy sprawdzić czy
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)=P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot ... \cdot P(A_n)}\)


\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)= \frac{1}{n^n} }\)
gdyż to zdarzenia spełnia jedynie rosnący ciąg liczb o 1 do n.

\(\displaystyle{ P(A_1)= \frac{1}{n} \\
P(A_2)=1-( \frac{n-1}{n} )^2= \frac{n+1}{n^2} \\
P(A_3)=1-( \frac{n-1}{n} )^3 =\frac{n^2+n+1}{n^3} \\
... \\
P(A_n)=1-( \frac{n-1}{n} )^n= \frac{ \sum_{i=0}^{n-1} n^{n-1-i}}{n^n } \\ \\
}\)

\(\displaystyle{
P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot ... \cdot P(A_n)=\frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{n^2} \cdot \frac{n^2+n+1}{n^3} \cdot \frac{n^3+n^2+n+1}{n^4} \cdot ... \cdot \frac{ \sum_{i=0}^{n-1} n^{n-1-i}}{n^n }
}\)
Jak łatwo zauważyć liczniki ułamków są większe od mianowników ułamków je poprzedzających więc
\(\displaystyle{ P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot ... \cdot P(A_n)> \frac{1}{n^n} }\)
Konkluzja: Te zdarzenia nie są niezależne.