Matematyka.pl

Trzech graczy X, Y, Z rzuca kostką do gry, w kolejności XYZXYZ.... Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwszą szóstkę wyrzuci X, drugą szóstkę wyrzuci Y oraz trzecią szóstkę wyrzuci Z.

Niech X wyrzuci szóstkę w i-tym swoim rzucie, Y w j-otym, a Z w k-tym. Oznacza to że każdy z graczy rzuca k razy i tylko raz wychodzi mu szóstka (Z uzyskuje ją w ostatnim rzucie).

\(\displaystyle{ P(k=1)=( \frac{1}{6} )^3\\
P(k=2)=( \frac{1}{6} )^3( \frac{5}{6} )^3(2+ {2 \choose 2} )\\
P(k=3)=( \frac{1}{6} )^3( \frac{5}{6} )^6(3+ {3 \choose 2} )\\
P(k=4)=( \frac{1}{6} )^3( \frac{5}{6} )^9(4+ {4 \choose 2} )\\
....\\
P(k=m)=( \frac{1}{6} )^3( \frac{5}{6} )^{3(m-1)}(m+ {m \choose 2}) \\
...}\)


szukane prawdopodobieństwo to: \(\displaystyle{ P= \sum_{k=1}^{ \infty } P(k)}\)

PS
W sumie \(\displaystyle{ m+ {m \choose 2}}\) pierwszy składnik to liczba zdarzeń gdzie \(\displaystyle{ i=j}\), a drugi to liczba zdarzeń gdzie \(\displaystyle{ i<j}\)