Tomasz22 pisze: ↑1 cze 2023, o 11:21jeśli "Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna" powinno być rozumiane jako "Każda metryka generuje topologię", to jestem "w domu".
Dokładnie tak powinno być rozumiane.
Tomasz22 pisze: ↑1 cze 2023, o 11:21A czy możesz jakoś uzasadnić, że
\(\displaystyle{ X}\) musi być przeliczalny?
Rozważmy przestrzeń
\(\displaystyle{ Y = \{ 0 \} \cup \left\{ \frac{1}{n} : n \in \NN \right\}}\) z metryką euklidesową
\(\displaystyle{ d}\). Gdy
\(\displaystyle{ y \in Y}\) i
\(\displaystyle{ r>0}\), przez
\(\displaystyle{ B(y, r)}\) oznaczamy kulę otwartą o środku w
\(\displaystyle{ y}\) i promieniu
\(\displaystyle{ r}\), tj.
\(\displaystyle{ B(y, r) = \{ y' \in Y : d(y', y) < r \}}\).
Zaczniemy od wykazania lematu: podzbiór
\(\displaystyle{ V \subseteq Y}\) jest otwarty dokładnie wtedy, gdy zachodzi jeden z dwóch przypadków
(i)
\(\displaystyle{ 0 \notin V}\),
(ii)
\(\displaystyle{ Y \setminus V}\) jest skończony.
Dowód: załóżmy najpierw, że
\(\displaystyle{ V \subseteq Y}\) jest otwarty. Wykażemy, że
\(\displaystyle{ V}\) spełnia (i) lub (ii). Jeśli
\(\displaystyle{ 0 \notin V}\), to oczywiście zachodzi (i), więc załóżmy, że
\(\displaystyle{ 0 \in V}\). Z definicji topologii generowanej przez metrykę istnieje
\(\displaystyle{ r > 0}\), takie że
\(\displaystyle{ B(0, r) \subseteq V}\). Wtedy
\(\displaystyle{ Y \setminus B(0, r)}\) jest skończony, bo należą tam tylko liczby postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}, n \in \NN}\), takie że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \ge r}\), a tych jest skończenie wiele. Tym bardziej więc
\(\displaystyle{ Y \setminus V}\) jest skończony, czyli zachodzi (ii).
Załóżmy teraz, że zachodzi (i) lub (ii). Sprawdzimy znów z definicji, że
\(\displaystyle{ V}\) jest otwarty w
\(\displaystyle{ Y}\). W tym celu ustalmy dowolny
\(\displaystyle{ y \in V \setminus \{ 0 \}}\). Jest on postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\). Niech
\(\displaystyle{ r = \frac{1}{n(n+1)}}\). Łatwym rachunkiem sprawdzamy, że dla każdego
\(\displaystyle{ u \in Y}\) różnego od
\(\displaystyle{ y}\) mamy
\(\displaystyle{ d(y, u) \ge r}\), zatem
\(\displaystyle{ B(y, r) = \{ y \}}\) i stąd
\(\displaystyle{ B(y, r) \subseteq V}\). Wykazaliśmy więc, że dla każdego
\(\displaystyle{ y \in V \setminus \{ 0 \}}\) istnieje takie
\(\displaystyle{ r>0}\), że
\(\displaystyle{ B(y, r) \subseteq V}\).
Jeśli zachodzi (i), to koniec - sprawdziliśmy z definicji, że
\(\displaystyle{ V}\) jest otwarty. Jeśli zaś (i) nie zachodzi, to musimy jeszcze sprawdzić, że warunek z poprzedniego akapitu spełnia sam punkt
\(\displaystyle{ y = 0}\). Mamy z (ii), że
\(\displaystyle{ Y \setminus V}\) jest skończony, a więc ma element najmniejszy
\(\displaystyle{ y_0}\). Skoro jest najmniejszy, to wszystkie
\(\displaystyle{ y' \in Y}\), takie że
\(\displaystyle{ y' < y_0}\), należą już do
\(\displaystyle{ V}\). Zatem przyjmując
\(\displaystyle{ r := y_0}\), mamy
\(\displaystyle{ B(0, r) \subseteq V}\), tak jak chcemy. To kończy dowód lematu.
Udowodnimy teraz, że
\(\displaystyle{ X}\) jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna.
W jedną stronę: jeśli zbiór
\(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny (nieskończony), to istnieje bijekcja
\(\displaystyle{ f : X \to Y}\), taka że
\(\displaystyle{ f(x_0) = 0}\). Ponieważ warunki (i), (ii) są identyczne z tymi, które definiują topologię na
\(\displaystyle{ X}\), łatwo wykazać korzystając z lematu, że
\(\displaystyle{ f}\) jest homeomorfizmem. Wynika stąd, że jeśli przeniesiemy metrykę z
\(\displaystyle{ Y}\) przez
\(\displaystyle{ f}\) na
\(\displaystyle{ X}\), tj. zdefiniujemy
\(\displaystyle{ \varrho : X \times X \to [0, \infty)}\) wzorem
\(\displaystyle{ \varrho(x_1, x_2) = d(f(x_1), f(x_2))}\),
to ta metryka generuje naszą topologię na
\(\displaystyle{ X}\). W szczególności - jest to przestrzeń metryzowalna, co należało wykazać.
W drugą stronę: załóżmy, że
\(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny. Wykażemy, że
\(\displaystyle{ X}\) nie jest metryzowalna. Załóżmy nie wprost, że jest, i niech
\(\displaystyle{ \varrho : X \times X \to [0, \infty)}\) będzie jakąś metryką generującą wskazaną topologię na
\(\displaystyle{ X}\). Dla każdego
\(\displaystyle{ n \in \NN}\) kula
\(\displaystyle{ B := B\left( x_0, \frac{1}{n} \right)}\) jest zbiorem otwartym, do którego należy
\(\displaystyle{ x_0}\), zatem z definicji naszej topologii
\(\displaystyle{ X \setminus B}\) jest zbiorem skończonym. Mamy więc
\(\displaystyle{ X \setminus \{ x_0 \} = \{ x \in X : d(x_0, x) > 0 \} = \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x \in X : d(x_0, x) \ge \frac{1}{n} \right\} = \bigcup_{n \in \NN} \underbrace{X \setminus B\left( x_0, \frac{1}{n} \right)}_{\text{skończony}}}\).
Zbiór po prawej stronie jest przeliczalny jako przeliczalna suma zbiorów skończonych. A zatem i zbiór po lewej stronie jest przeliczalny, więc cały
\(\displaystyle{ X}\) także - co jest sprzeczne z założeniem, że
\(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny.