Matematyka.pl

Boki trójkąta mają długość \(\displaystyle{ 15,20,25}\). Oblicz długość odcinka dwusiecznej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka największego kąta.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Zauważ, że to trójkąt prostokątny.

JK

Ok, racja to trójkąt prostokątny. No to w takim razie z twierdzenia o dwusiecznej zobaczyłem, że spodek tej dwusiecznej dzieli przeciwprostokątną na odcinki \(\displaystyle{ \frac{75}{7} }\) i \(\displaystyle{ \frac{100}{7} }\). Wiem jeszcze, że ta dwusieczna dzieli ten kąt prosty na dwa kąty po \(\displaystyle{ 45}\) stopni. No, ale co dalej?

Np. twierdzenie sinusów.

JK

Ok, to w takim razie z twierdzenia sinusów jeden z kątów tego trójkąta prostokątnego wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{5} }\), a zatem z twierdzenia sinusów dla tego trójkąta z dwusieczną i tym sinusem, możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{75/7}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }= \frac{x}{ \frac{4}{5} } }\), a zatem szukana długość tej dwusiecznej wynosi:
\(\displaystyle{ x= \frac{60 \sqrt{2} }{7} }\).

Czy tak jest dobrze?

Tak jest to prawidłowa odpowiedż .
Dla ciekawości to trójkat prostokatny egipski powiększony
pięciokrotnie , jak wyliczyć kąt nachylenia tej dwusiecznej względem podstawy .
T.W.

To zadanie najszybciej można rozwiązać z wykorzystaniem tylko wzoru na pole trójkąta.

Kąt nachylenia dwusiecznej w tym trójkącie prostokątnym można
wyliczyć szybciej bez obliczania pola .
T.W.

Dodano po 9 godzinach 15 minutach 30 sekundach:
Wskazówka : Stosunek najdłuższego boku do najkrótszego boku w tym trójkącie prostokątnym
to ( tan ) tego kąta przy podstawie ,( lub stosunek najkrótszego boku do długości podstawy to ( cos ) kąta przy podstawie )
Teraz wystarczy odpowiednio sumować kąty , ( do kąta przy podstawie dodać połowę kąta prostego ,,,, itd. )
"Ewusia" teraz sobie na pewno poradzisz , nawet nie potrzeba znać tej długości dwusiecznej kąta prostego .
Jest o po prostu łatwiej , ( szybciej to trochę dziwnie brzmi )

dzialka11o pisze: ↑18 maja 2023, o 13:49 Tak jest to prawidłowa odpowiedż .
Dla ciekawości to trójkat prostokatny egipski powiększony
pięciokrotnie , jak wyliczyć kąt nachylenia tej dwusiecznej względem podstawy .
T.W.

Trójkąt egipski powiększony pięciokrotnie dalej jest trójkątem egipskim

Trójkąt egipski powiększony pięciokrotnie dalej jest trójkątem egipskim.

Zwątpiłem ,bo wg mnie jest tylko jeden . powiększone są do niego podobne .
T.W.

A według ciebie jakie wymiary ma trójkąt egipski?

Trójkąt egipski zwany pięknym należy do grupy trójkątów pitagorejskich .
powiększony np. dwukrotnie też należy do do grupy trójkątów pitagorejskich .
Odpowiedz na postawione pytanie można znaleźć w "Wikipedia" .

Ale nie odpowiedziałeś na moje pytanie

Boki trójkąta egipskiego mają długość : \(\displaystyle{ X = 4 ; Y = 3 ; Z = 5}\) (podstawa trójkąta prostokątnego)
gdy go powiększymy 5 krotnie to długości : \(\displaystyle{ x = 20 ; y =15 ; z = 25}\) ; pole \(\displaystyle{ S = 20 \cdot 15 /2 =150}\)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ale rozważmy trójkąt pitagorejski: \(\displaystyle{ x = 12 ; y = 5 ; z = 13}\) ; pole \(\displaystyle{ S = 12 \cdot 5 /2 = 30}\)
oraz rozważmy trójkąt pitagorejski : \(\displaystyle{ x = 24 ; y = 7 ; z = 25}\) ; pole \(\displaystyle{ S = 24 \cdot 7 /2 = 84}\)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Może jest w tych zawiłościach to czego ja nie wiem , jeśli można to proszę o wskazówki .
T.W.

A 3,4,5 czego?