Matematyka.pl

Dwa zadania
1. Znaleźć taki kwadrat, którego pole jest równoważne obwodowi tego kwadratu
2. Znaleźć taki trójkąt prostokątny, którego polej jest równoważne obwodowi tego trójkąta.
Ile wynosi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt prostokątny ?
T.W.

Dodano po 7 dniach 22 godzinach 44 minutach 22 sekundach:
To trudne zagadnienie.
Odpowiedz do zadania 1 : Jest to kwadrat o wymiarach boków \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) ,
( obliczono z równana \(\displaystyle{ x^2 - 4 x = 0}\) , gdzie \(\displaystyle{ x > 0}\) ) .
Odpowiedz do zadania 2 : Jest to trójkąt egipski powiększony dwukrotnie
( stąd \(\displaystyle{ a = 4 \cdot 2 =8, b = 3 \cdot 2 = 6 }\) oraz \(\displaystyle{ c= 5 \cdot 2 =10}\) )
suma boków \(\displaystyle{ L = 24}\) , pole \(\displaystyle{ S = 24 , S= \frac12 \cdot 8 \cdot 6 }\))
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ r= 2 }\).
( nie jestem pewny co do zadania pierwszego )
Te dwa zadania są ze sobą bardzo powiązane, bo w kwadracie o podanych wymiarach również można wyznaczyć podobny trójkąt prostokątny w odpowiedniej skali .
T.W.

1. To jedyny taki kwadrat.
2.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
\(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)

Promień okręgu wpisanego w trójkąt
\(\displaystyle{ r=\frac{2S}{a+b+c}}\)
Skoro S=L, to
\(\displaystyle{ r=\frac{2S}{L}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{2S}{S}}\)
\(\displaystyle{ r=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=\frac{ab}{2}\\ \frac{a+b-c}{2}=2\ \ \ |\cdot2 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=\frac{ab}{2}\\ a+b-c=4\end{cases} }\)
+___________
\(\displaystyle{ 2a+2b=4+\frac{ab}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a-\frac{ab}{2}=4-2b}\)
\(\displaystyle{ (2-\frac{b}{2})a=4-2b\ \ \ |:(2-\frac{b}{2})}\)
\(\displaystyle{ a=4+\frac{8}{b-4}}\)
(\(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\), więc \(\displaystyle{ 0<b<2 ∨ b > 4}\))

\(\displaystyle{ b-4}\) musi być dzielnikiem \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ b-4=1 \Rightarrow b=5, a=12}\)
\(\displaystyle{ b-4=2 \Rightarrow b=6, a=8}\)
\(\displaystyle{ b-4=4 \Rightarrow b=8, a=6}\)
\(\displaystyle{ b-4=8 \Rightarrow b=12, a=5}\)

Będą dwa takie trójkąty:
\(\displaystyle{ 6,8,10}\)
\(\displaystyle{ 5,12,13}\)

Dziękuję za analityczne podanie rozwiązania , to ciekawe podejście znalezienia drugiego trójkąta .
Przy okazji zadanie : Pole trójkąta wynosi 84 (cm) .
promień wpisany w ten trójkąt wynosi r=2 .
Znaleźć boki tego trójkąta w liczbach całkowitych ?
( intuicyjnie do dwóch podanych trójkątów z poprzednich zadań dojdzie trzeci trójkąt )
Pozdrawiam .
T.W.

dzialka11o pisze: ↑28 cze 2023, o 17:26 Pole trójkąta wynosi 84 (cm) .
promień wpisany w ten trójkąt wynosi r=2 .
Znaleźć boki tego trójkąta w liczbach całkowitych ?
( intuicyjnie do dwóch podanych trójkątów z poprzednich zadań dojdzie trzeci trójkąt )
Pozdrawiam .
T.W.

Zdaje się, że taki trójkąt nie istnieje.

Dodano po 2 dniach 3 godzinach 11 minutach 9 sekundach:
Skoro pole jest równe \(\displaystyle{ 84}\), a promień okręgu wpisanego jest równy \(\displaystyle{ 2}\), to
\(\displaystyle{ r=\frac{2S}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{2S}{r}}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{2S}{2}}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=S}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=84}\)
a nie \(\displaystyle{ 42}\)
Poza tym o sumie długości boków nie było mowy.

Długość boków należy wyliczyć ,
Wskazówka : \(\displaystyle{ \frac{S}{r} = 42,}\) stąd \(\displaystyle{ a + b +c = 42 ; \frac12 p =21.}\)
Wstawić te dane do Wzoru Herona i upraszczając stronami
otrzymamy ciekawe równanie z trzema niewiadomymi .
Po długiej dłubaninie znalazłem ten szukany trójkąt o bokach całkowitych .
To bardzo ciekawy trójkąt .
T.W.

dzialka11o pisze: ↑1 lip 2023, o 14:43 Wskazówka : \(\displaystyle{ \frac{S}{r} = 42,}\) stąd \(\displaystyle{ a + b +c = 42 ; \frac12 p =21.}\)

Skąd to się wzięło?

\(\displaystyle{ \frac{S}{r} = a + b+ c = 42}\) to suma boków szukanego trójką dla \(\displaystyle{ r=2 .}\)
stąd \(\displaystyle{ p =\frac12\cdot 42 =21 .}\)
Wstawiając do wzoru Herona powyższe dane uzyskamy końcowy równanie
\(\displaystyle{ (p-a)( p-b)(p-c) = 6 \cdot 7 \cdot 8.}\)
Porównując stronami podane iloczyny znajdziemy boki tego szukanego trójkąta
w liczbach całkowitych .
T.W.

Oczywiście że nie. Wzór wiążący pole, obwód i promień tak nie wygląda

Już raz to pisałam:

Skoro pole jest równe \(\displaystyle{ 84}\), a promień okręgu wpisanego jest równy \(\displaystyle{ 2}\), to
\(\displaystyle{ r=\frac{2S}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{2S}{r}}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{2S}{2}}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=S}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=84}\)
a nie \(\displaystyle{ 42}\)

Rozwiązując to równanie zapisane w innej kolejności prawej strony otrzymujemy ;
\(\displaystyle{ ( p -a ) ( p- b ) (p - c) =7 \cdot 8 \cdot 6}\) gdzie \(\displaystyle{ p = 7 +8 +6 =21}\)
\(\displaystyle{ 21- a = 7}\) ; stąd \(\displaystyle{ a = 14}\)
\(\displaystyle{ 21- b = 8}\) ; stad \(\displaystyle{ b = 13}\)
\(\displaystyle{ 21 - c = 6}\) ; stąd \(\displaystyle{ c = 15}\)
Proszę zauważyć ze to trójkąt indyjski o bokach \(\displaystyle{ 14 , 13 , 15}\)
o polu \(\displaystyle{ S=84 }\) i sumie długości boków \(\displaystyle{ = 42 .}\)
To trójkąt indyjski o podstawie \(\displaystyle{ 1 5 .}\)
T.W.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 14 , 13 , 15 }\) jest równy \(\displaystyle{ 4}\), a nie \(\displaystyle{ 2}\).

Dzięki za podanie prawidłowego promienia okręgu wpisanego w trójkąt indyjski .
Wiem w którym miejscu robiłem błąd ; ( \(\displaystyle{ r=\frac{2S}{p}}\) ).
Serdecznie też pozdrawiam Moderatora J.K.
T.W.