Matematyka.pl

Proszę o pomoc w poniższym zadaniu, będę bardzo wdzięczny.

Zadanie brzmi:

Zużycie benzyny przez nowy samochód małolitrażowy na autostradzie ma rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym. Producent wie na podstawie próbnych testów, że w 80% przypadków samochód może przejechać na autostradzie więcej niż 280 km, a w 40% przypadków – więcej niż 320 km na jednym baku benzyny. Jaka jest średnia i odchylenie standardowe zużycia benzyny mierzone liczbą km, które może przejechać na autostradzie testowany nowy samochód?

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N} (\{m, \sigma\}) }\)

Z układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Pr(\{ X>280\})= 0,8, \\ \Pr(\{X> 320\}) = 0,4.\end{cases} }\)

wyznaczamy po standaryzacji do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) - średnie zużycie \(\displaystyle{ m }\) i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma }\) benzyny.

Czyżby?

Hmm więc jest to prawidłowo czy jednak nie do końca? Prosiłbym jednak o dalsze rozwiązanie

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N} (\{m, \sigma\}) }\)

Z układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Pr(\{ X>280\})= 0,8, \\ \Pr(\{X> 320\}) = 0,4.\end{cases} }\)

Standaryzacja:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\Pr \left(\left \{Z > \frac{280-m}{\sigma}\right\}\right) = 0,8, \\ \Pr \left(\left \{Z > \frac{320-m}{\sigma}\right\}\right)=0,4 \end{cases}.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Pr \left(\left \{Z \leq \frac{280-m}{\sigma}\right\}\right) =1- 0,8=0,2, \\ \Pr \left(\left \{Z \leq \frac{320-m}{\sigma}\right\}\right)= 1-0,4 = 0,6. \end{cases}.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi\left( \frac{280-m}{\sigma}\right) = 0,2 \\ \phi\left( \frac{320-m}{\sigma}\right) = 0,6. \end{cases} }\)

Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład Programu R

Program R \(\displaystyle{ \begin{cases} \phi\left( \frac{280-m}{\sigma}\right) \approx \phi(-0,84) \\ \phi\left( \frac{320-m}{\sigma}\right) \approx \phi(0,25). \end{cases}
}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{280-m}{\sigma} = -0,84 \\ \frac{x-m}{\sigma} = 0,25 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \approx 310,8 \ \ km = 311 \ \ km, \\ \sigma \approx 36,7 \ \ km =37 \ \ km. \end{cases} }\)


\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N} ( 311 \ \ km, \ \ 36,7 \ \ km ).}\)

Bardzo Ci dziękuję za pomoc