Matematyka.pl

W konkursie przedmiotowym dla woj. podkarpackiego kiedyś pojawiło się takie zadanie:

"Czworokąt \(\displaystyle{ \displaystyle{ ABCD}}\) jest równoległobokiem. Punkt \(\displaystyle{ \displaystyle{ S}}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ \displaystyle{ AB}}\) i odcinki \(\displaystyle{ \displaystyle{ SB}}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle{ SD}}\) mają równe długości. Ile wynosi miara kąta \(\displaystyle{ \displaystyle{ ADB}}\)?"

W kluczu jest napisane, że poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ \displaystyle{ 90°}}\), ale nie ma podanego rozwiązania. Jak oni do tego doszli?

Czyli trójkąty \(\displaystyle{ \displaystyle{ ABD}}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle{ BCD}}\) są przystające(mają więc te same kąty), trójkąty \(\displaystyle{ \displaystyle{ ASD}}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle{ SBD}}\) są równoramienne(mają takie same kąty przy podstawie), suma miar kątów \(\displaystyle{ \displaystyle{ ASD}}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle{ BSD}}\) wynosi \(\displaystyle{ \displaystyle{ 180°}}\), kąt \(\displaystyle{ \displaystyle{ SDC}}\) jest prosty(z własności stycznej).

\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ ADB}=\angle\displaystyle{ ADS}+\angle\displaystyle{ SDB}}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ SDB}=\displaystyle{ 90^\circ}-\angle\displaystyle{ BDC}}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ BDC}=\angle\displaystyle{ ABD}}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ SDB}=\displaystyle{ 90^\circ}-\angle\displaystyle{ ABD}}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ SDB}=\angle\displaystyle{ SBD}}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ SDB}+\angle\displaystyle{ SBD}+\angle\displaystyle{ DSB}=\displaystyle{ 180^\circ}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ 2}\angle\displaystyle{ SDB}+\angle\displaystyle{ DSB}=\displaystyle{ 180^\circ}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ 2(90^\circ-}\angle\displaystyle{ ABD)}+\angle\displaystyle{ DSB}=\displaystyle{ 180^\circ}}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ 180^\circ}-\displaystyle{ 2}\angle\displaystyle{ ABD}+\angle\displaystyle{ DSB}=\displaystyle{ 180^\circ}}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ DSB}-\displaystyle{ 2}\angle\displaystyle{ ABD}=0^\circ}\)
\(\displaystyle{ \angle\displaystyle{ DSB}=\displaystyle{ 2}\angle\displaystyle{ ABD}}\)

i co dalej?

Za skomplikowane. `AB` jest średnicą okręgu na którym leży `D`

I co w związku z tym?

W związku z tym kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

JK