Matematyka.pl

wyznaczyć \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^4+x^2+1} dx}\)

Ja proponuję rozłożyć na ułamki proste i otrzymamy całki typu:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\cos x}{x^2+ \frac{3}{4} } dx \wedge \int_{0}^{ \infty } \frac{\sin x}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

A to się dość dobrze całkuje biorąc funkcję:

np:

\(\displaystyle{ f(a)= \int_{0}^{ \infty } \frac{\cos ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx }\)

Dodano po 7 godzinach 39 minutach 38 sekundach:
Pierwszy rozkład:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{1-x}{2(x^2-x+1)} + \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2-x+1}- \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2-x+1} +\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2+x+1} +\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+x+1}}\)

\(\displaystyle{ x^2-x+1=\left( x- \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4} }\)

\(\displaystyle{ x^2+x+1=\left( x+ \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4} }\)

Mamy więc całki po rozdzieleniu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos x}{\left( x- \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4}} dx- \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \cos x}{\left( x- \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4}} dx + \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x\cos x}{\left( x+ \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4}} dx+ \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos x}{\left( x+ \frac{1}{2}\right)^2+ \frac{3}{4}} dx}\)

Robiąc standardowe podstawienia do tych całek:

\(\displaystyle{ x- \frac{1}{2} :=x}\)

oraz;

\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2} :=x}\)

Otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos(x+ \frac{1}{2}) }{x^2+ \frac{3}{4} }dx- \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{(x+ \frac{1}{2} ) \cos(x+ \frac{1}{2}) }{x^2+ \frac{3}{4} }dx +\frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{(x- \frac{1}{2} ) \cos(x- \frac{1}{2}) }{x^2+ \frac{3}{4} }dx+\frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{ \cos(x- \frac{1}{2}) }{x^2+ \frac{3}{4} }dx}\)

Upraszczając to wszystko mnożąc odejmując otrzymamy ostatecznie ( o ile się gdzieś nie walnąłem):

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cos \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos x}{x^2+ \frac{3}{4} } dx+\sin \frac{1}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{ x\sin x}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

Teraz policzymy:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos x}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

połóżmy:

\(\displaystyle{ f(a)= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

\(\displaystyle{ f'(a)=- \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

Policzmy \(\displaystyle{ f(a)}\) przez części:

\(\displaystyle{ f(a)= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

\(\displaystyle{ u= \frac{1}{x^2+ \frac{3}{4} }}\)

\(\displaystyle{ du=- \frac{2x}{\left( x^2+ \frac{3}{4}\right)^2 } , dv=\cos axdx , v= \frac{1}{a} \sin ax }\)

Co daje:

\(\displaystyle{ f(a)= \frac{1}{a} \cdot \frac{\sin ax}{x^2+ \frac{3}{4} } |_{- \infty }^{ \infty }+ \frac{1}{a} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{2x \sin ax}{\left( x^2+ \frac{3}{4}\right)^2 } dx}\)

To pierwsze za = dąży do zera...więc mamy:

\(\displaystyle{ af(a)= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{2x \sin ax}{\left( x^2+ \frac{3}{4}\right)^2 } dx}\)

Teraz jak policzyłem drugą pochodną \(\displaystyle{ f''(a)}\)

Otrzymałem:

\(\displaystyle{ f''(a)=-\int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x^2 \cos ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx =-\int_{- \infty }^{ \infty } \sin ax+ \frac{3}{4}\int_{- \infty }^{ \infty } \frac{ \sin ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx }\)

Z daleka pachnie niezbieżnością więc to mi nie pasowało...

Spróbowałem inaczej, jeszcze raz napisałem:

\(\displaystyle{ f'(a)=- \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx}\)

I zrobiłem podstawkę:

\(\displaystyle{ ax:=x , x:= \frac{1}{a} x , dx:=\frac{1}{a} dx }\)

Co dało:

\(\displaystyle{ f'(a)=- \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin x}{x^2+ \frac{3}{4}a^2 } dx}\)

teraz to zróżniczkujmy:

\(\displaystyle{ f''(a)=- \frac{3}{2} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{ax \sin x}{\left( x^2+ \frac{3}{4}a^2 \right)^2 } dx}\)

Wracając z powrotem na stare śmieci podstawieniem, otrzymamy:

\(\displaystyle{ x:=ax , dx:=adx}\)

\(\displaystyle{ f''(a)=- \frac{3}{2a} \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin ax}{\left( x^2+ \frac{3}{4} \right)^2 }dx=- \frac{3}{2a} \cdot \frac{1}{2} af(a) }\)

biorąc powyższe przez części

I w związku z tym otrzymamy równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ f''(a)=- \frac{3}{4} f(a)}\)

Co po rozwiązaniu da nam:

\(\displaystyle{ f(a)=C_{1} \cos\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right) + C_{2} \sin\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right)}\)

\(\displaystyle{ f(0)=C_{1}= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{dx}{x^2+ \frac{3}{4} } = \frac{2 \pi \sqrt{3} }{3} }\)

\(\displaystyle{ f'(a)=- \frac{ \sqrt{3} }{2} C_{1} \sin\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right)+ \frac{ \sqrt{3} }{2} C_{2} \cos\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right)}\)

Ale:

\(\displaystyle{ f'(a)=0}\)

więc:

\(\displaystyle{ C_{2}=0}\)

Ostatecznie otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(a)= \frac{2 \sqrt{3} \pi }{3} \cos\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right) }\)

Co da nam:

\(\displaystyle{ f(1)= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\cos ax}{x^2+ \frac{3}{4} } dx=\frac{2 \sqrt{3} \pi }{3} \cos\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right)=\frac{2 \sqrt{3} \pi }{3} \cos\left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\)

Druga całka:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin x}{x^2+ \frac{3}{4} }dx=f'(1)}\)

a skoro:

\(\displaystyle{ f(a)= \frac{2 \sqrt{3} \pi }{3} \cos\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}a \right) }\)

\(\displaystyle{ f'(a)=-\pi \cdot \sin \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} a \right) }\)

\(\displaystyle{ f'(1)=\int_{- \infty }^{ \infty } \frac{x \sin x}{x^2+ \frac{3}{4} }dx=-\pi \cdot \sin \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) }\)

cnd...


Proponuję teraz dla odmiany całkę z sinusem:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{\sin x}{x^2+1} dx}\)

Dodano po 6 minutach 35 sekundach:
A poza tym temat w złym dziale...

arek1357 pisze: 10 maja 2023, o 23:51 Proponuję teraz dla odmiany całkę z sinusem:

No dobrze to propozycja taka zmieniam:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\sin x}{x^2+1} dx=}\)