Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

Tak odnośnie wymogu jednoznaczności zapisu w systemie pozycyjnym. Jeden jako \(\displaystyle{ 1}\) i jeden jako \(\displaystyle{ 0,(9)}\). Nigdzie nie spotkałem zastrzeżenia, że zapis musi składać się ze skończonej ilości cyfr by wymóg jednoznaczności był spełniony.
W definicji liczba \(\displaystyle{ n}\) nie ma zastrzeżenia skończoności.

Ile wynosi
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{9}{ 10} + \frac{9}{100} +...\right)^{n}}\)

proszę o nieobliczanie wyrażenia w nawiasie a jedynie jego rozpisanie na postać sumy wyrażeń ;-)
Ostatnio zmieniony 15 maja 2023, o 11:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: a4karo »

Brombal pisze: 10 maja 2023, o 08:24 Systemy liczbowe
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x \in \NN}\) oraz liczby naturalnej \(\displaystyle{ p \ge 2}\) istnieją jednoznacznie wyznaczone:
liczba \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz ciąg cyfr \(\displaystyle{ c_{0}, c_{1},..., c_{n-1} }\) (gdzie \(\displaystyle{ c_{k} \in \left\{ 0, 1,...,p-1\right\} }\)) taki, że \(\displaystyle{ x= c_{0}+ c_{1 \cdot p+ ... + c_{n-1} \cdot p^{n-1} }. }\)

Ciąg (\(\displaystyle{ c_{n-1} ... c_{0} }\)) nazywamy reprezentacją liczby \(\displaystyle{ x}\) w systemie o podstawie \(\displaystyle{ p}\).

Gdzie podziała się jednoznaczność reprezentacji liczby \(\displaystyle{ 1}\)? ;-)

Ja tak łatwo nie odpuszczam ;-)
Brombal pisze:Nigdzie nie spotkałem zastrzeżenia, że zapis musi składać się ze skończonej ilości cyfr by wymóg jednoznaczności był spełniony.
To znaczy tylko tyle, że masz podstawowe braki w rozumieniu tego, co piszesz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Jan Kraszewski »

Brombal pisze: 15 maja 2023, o 09:09Ile wynosi
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{9}{ 10} + \frac{9}{100} +...\right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ 1}\)
Brombal pisze: 15 maja 2023, o 09:09proszę o nieobliczanie wyrażenia w nawiasie a jedynie jego rozpisanie na postać sumy wyrażeń ;-)
:?: :?:

Masz skłonność do formułowania swoich wypowiedzi w niezrozumiały sposób.

JK
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

a4karo pisze: 15 maja 2023, o 11:33
To znaczy tylko tyle, że masz podstawowe braki w rozumieniu tego, co piszesz.
Jest to wielce prawdopodobne.
Jako niematematyk. Jeżeli liczba należy do zbioru liczb nieograniczonych z góry, to czy liczba może mieć wartość ograniczoną z góry?
Rozumiem, że zapis
\(\displaystyle{ n \in \NN}\)
nie jest tożsamy z zapisem

\(\displaystyle{ n \in \left\langle 1, 2, ...\infty \right)}\)
Ostatnio zmieniony 15 maja 2023, o 13:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Jan Kraszewski »

Brombal pisze: 15 maja 2023, o 12:21Jeżeli liczba należy do zbioru liczb nieograniczonych z góry,
Co to jest "liczba nieograniczona z góry"?
Brombal pisze: 15 maja 2023, o 12:21Rozumiem, że zapis
\(\displaystyle{ n \in \NN}\)
nie jest tożsamy z zapisem

\(\displaystyle{ n \in \left\langle 1, 2, ...\infty \right)}\)
Ten drugi zapis nie ma sensu, co powoduje, że pytanie nie ma sensu.

JK
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

podziubię nieco proszę się nie śmiać
Zakładamy
\(\displaystyle{ 0,(9)=1}\)
to znaczy
\(\displaystyle{ 0,(9)^n=1^n}\)
Rozpiszmy nieco
\(\displaystyle{ 1=0,(9)^n= 0,(9) \cdot 0,(9) \cdot0,(9) \cdot0,(9) \cdot.... }\) i tak \(\displaystyle{ n}\) razy
rozpiszmy dalej
\(\displaystyle{ 1= (\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{100}+...}\)
\(\displaystyle{ \cdot (\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{100}+...}\)
...
\(\displaystyle{ \cdot (\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{100}+...}\)
i tak \(\displaystyle{ n}\) razy
Zacznijmy od początkowych mnożyć wyrazy w nawiasach ("wszystkie" kombinacje po jednym wyrazie z nawiasu)
\(\displaystyle{ 1=\frac{9^n}{10^n}+\frac{9^{n-1}}{10^{n-1}} \cdot \frac{9}{10^2} +...}\)
\(\displaystyle{ 1=\frac{9^n}{10^n}+\frac{9^{n}}{10^{n+1}} +...}\)
Wyciągnijmy stałą przed nawias
\(\displaystyle{ 1=9^{n}(\frac{1}{10^n}+\frac{1}{10^{n+1}} +...}\)

Zlimonkujemy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } { 9^{n}(\frac{1}{10^n}+\frac{1}{10^{n+1}} +...}}\)
Wyrażenia w nawiasie to \(\displaystyle{ 0+0+0...}\)

\(\displaystyle{ 1=9^{ \aleph_0} \cdot 0}\)

Teraz nie wiem całkowicie wiec pofantazjuję
\(\displaystyle{ 1=2^{ \aleph_0} \cdot2^{ \aleph_0} \cdot2^{ \aleph_0} \cdot{1,125}^{ \aleph_0} \cdot0 }\)
Stąd
\(\displaystyle{ { \aleph_0} \cdot c^{3} \cdot 0=1}\)
Może być również inaczej
\(\displaystyle{ c \cdot 0=1}\)
Ostatnio zmieniony 31 maja 2023, o 12:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Jan Kraszewski »

Brombal pisze: 31 maja 2023, o 11:33 proszę się nie śmiać
Przykro mi, ale spełnienie tej prośby jest niewykonalne...

JK
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

Zgodnie ze sztuką komedii końcówka musi być kwintesencją ;-)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: arek1357 »

Bzdura (pomijając już fakt, że nie ma czegoś takiego jak "nieskończenie wielka potęga")
Jemu chodziło o granicę w nieskończoności po podniesieniu do potęgi n...
ODPOWIEDZ