Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

\(\displaystyle{ \lim_{ n=1\to \infty } 0,9 ^{n} }\) ile wyniesie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Jan Kraszewski »

Ten zapis nie ma sensu.

JK
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

Zgadzam się. Przypuszczam, że potrafisz go usensownić.
Ale można z tych wypowiedzi powyżej wyciągnąć pewien zaskakujący wniosek
Dwie liczby zapisane w tym samym systemie liczbowym pozycyjnym. Różniące się dowolną liczbą cyfr mogą być sobie równe.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Jan Kraszewski »

Brombal pisze: 9 maja 2023, o 23:33 Przypuszczam, że potrafisz go usensownić.
Nie sądzę.
Brombal pisze: 9 maja 2023, o 23:33 Ale można z tych wypowiedzi powyżej wyciągnąć pewien zaskakujący wniosek
Dwie liczby zapisane w tym samym systemie liczbowym pozycyjnym. Różniące się dowolną liczbą cyfr mogą być sobie równe.
"Zaskakującość" jest bardzo indywidualną kwestią. Co innego zaskakuje Ciebie, co innego mnie, a co innego np. Jakuba Guraka. Mnie np. powyższy wniosek nie zaskakuje (pomijając już niedokładność sformułowania "różniące się dowolną liczbą cyfr").

JK
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: AiDi »

Brombal pisze: 9 maja 2023, o 23:33 Ale można z tych wypowiedzi powyżej wyciągnąć pewien zaskakujący wniosek
Pytanie czy kiedykolwiek ktokolwiek mówił, że jest inaczej. A przyjęcie tego do wiadomości jest chyba głównym problemem wszystkich tych, którzy mają jakieś "ale" do \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) (drugim problemem, jest niewystarczająca znajomość matematyki...).
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

Systemy liczbowe
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x \in \NN}\) oraz liczby naturalnej \(\displaystyle{ p \ge 2}\) istnieją jednoznacznie wyznaczone:
liczba \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz ciąg cyfr \(\displaystyle{ c_{0}, c_{1},..., c_{n-1} }\) (gdzie \(\displaystyle{ c_{k} \in \left\{ 0, 1,...,p-1\right\} }\)) taki, że \(\displaystyle{ x= c_{0}+ c_{1 \cdot p+ ... + c_{n-1} \cdot p^{n-1} }. }\)

Ciąg (\(\displaystyle{ c_{n-1} ... c_{0} }\)) nazywamy reprezentacją liczby \(\displaystyle{ x}\) w systemie o podstawie \(\displaystyle{ p}\).

Gdzie podziała się jednoznaczność reprezentacji liczby \(\displaystyle{ 1}\)? ;-)

Ja tak łatwo nie odpuszczam ;-)
Ostatnio zmieniony 10 maja 2023, o 10:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: a4karo »

To chociaż czytaj to, co piszesz. Bo tu piszesz o skończonych rozwinięciach, a `0.(9)` jest nieskończone.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: AiDi »

Brombal pisze: 9 maja 2023, o 22:42 Taki wniosek jest bezwartościowy bo wynika bezpośrednio z założenia.
I cóż takiego chciałeś tym stwierdzeniem przekazać? Z czego wnioski mają wynikać?

A słyszałeś już o tym, że liczb naturalnych i wymiernych jest tyle samo? :lol:
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: arek1357 »

Ważne aby sprecyzować do czego ma zmierzać ta dyskusja i co ma udowodnić na razie nie widzę konkretnego celu jedyne co to doszedłem do wniosku, że pewnikiem wysoce prawdopodobnym jest:

\(\displaystyle{ 0,(8)=0,9}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: a4karo »

arek1357 pisze: 12 maja 2023, o 12:02 Ważne aby sprecyzować do czego ma zmierzać ta dyskusja i co ma udowodnić na razie nie widzę konkretnego celu jedyne co to doszedłem do wniosku, że pewnikiem wysoce prawdopodobnym jest:

\(\displaystyle{ 0,(8)=0,9}\)
A idąc dalej tym tropem `0.(0)=0.1`
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Brombal »

arek1357 pisze: 12 maja 2023, o 12:02 Ważne aby sprecyzować do czego ma zmierzać ta dyskusja i co ma udowodnić na razie nie widzę konkretnego celu jedyne co to doszedłem do wniosku, że pewnikiem wysoce prawdopodobnym jest:

\(\displaystyle{ 0,(8)=0,9}\)
Skorzystam z dowodu przedstawionego przez Dasio11.
\(\displaystyle{ 0,(8)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{8}{10 ^{n} } = \frac{8}{10} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{10} }= \frac{8}{9} }\)
idąc dalej
\(\displaystyle{ 0,(7)= \frac{7}{9} }\)
...
\(\displaystyle{ 0,(3)= \frac{3}{9} = \frac{1}{3} }\)
...
\(\displaystyle{ 0,(1)= \frac{1}{9} }\)

Dodano po 8 minutach 4 sekundach:
A tak jeszcze
\(\displaystyle{ 0,8(9)=0,8+ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{9}{ 10^{n}} =0,8+ \frac{9}{100} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{10} } =0,8+0,1=0,9 }\)

Dodano po 12 minutach 1 sekundzie:
AiDi pisze: 10 maja 2023, o 10:32
Brombal pisze: 9 maja 2023, o 22:42 Taki wniosek jest bezwartościowy bo wynika bezpośrednio z założenia.
I cóż takiego chciałeś tym stwierdzeniem przekazać? Z czego wnioski mają wynikać?

A słyszałeś już o tym, że liczb naturalnych i wymiernych jest tyle samo? :lol:
Słyszałem
Odnośnie wniosku bezpośrednio z założenia. Jeżeli założysz, że \(\displaystyle{ 0,(9) =1}\) to choćbyś się "ubździł po pachy" ;) będzie zachowywało się jak \(\displaystyle{ 1}\) można podnosić do hoho potęgi i jest \(\displaystyle{ 1}\) . A gdybyś założył, że jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) to wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\). Wynik \(\displaystyle{ 1}\) wynika z czarów matematycznych na nieskończonościach. Ale stosując anty-czar nieskończonościowy podnosząc do potęgi nieskończenie wielkiej (do której nie można podnosić) zakłócamy czar pierwszy ... ;-)
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: AiDi »

Brombal pisze: 13 maja 2023, o 06:53 Jeżeli założysz, że \(\displaystyle{ 0,(9) =1}\)
Ale my nie tylko zakładamy, ale też i dowodzimy prawdziwości tego założenia. Nie ma zatem problemów o których mówisz.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: arek1357 »

Mam na ten temat jeszcze inne przemyślenia ale zachowam je dla siebie, w sumie dobrze, że takie tematy się czasem pojawiają...

Dodano po 2 minutach 18 sekundach:
A idąc dalej tym tropem 0.(0)=0.1
To też jest wysoce prawdopodobne...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: Jan Kraszewski »

arek1357 pisze: 14 maja 2023, o 20:59
A idąc dalej tym tropem 0.(0)=0.1
To też jest wysoce prawdopodobne...
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,(0)}\)...

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proste pytanie - ułamek 0,(9)

Post autor: a4karo »

A tak naprawdę to `1-0.(9)=0.(0)`
ODPOWIEDZ