Matematyka.pl

Witam ma problem jak zacząć i jakimi metodami to rozwiązać?
\(\displaystyle{ y' - 2\left(\frac{y^2}{x}\right) = \frac{1}{2}\frac{y}{x} + 4}\)

\(\displaystyle{ y' = 2\frac{1}{x} y^2 +\frac{1}{2}\frac{y}{x} +4 }\)

Jest to jedna z odmian równania Riccatiego.

Mnożymy obie strony równania przez \(\displaystyle{ x > 0 }\)

\(\displaystyle{ x\cdot y' = 2y^2+ \frac{1}{2}y + 4x }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ y = z\sqrt{x}. }\)

\(\displaystyle{ y' = z'\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}z }\)

\(\displaystyle{ x \left( z'\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}z \right) = 2z^2 x + \frac{1}{2}z\sqrt{x}+4x }\)

\(\displaystyle{ xz'\sqrt{x} + \frac{x z}{2\sqrt{x}}= 2z^2 x + \frac{1}{2}z \sqrt{x} +4x }\)

\(\displaystyle{ xz'\sqrt{x} + \frac{z\sqrt{x}}{2} = 2 z^2x + \frac{1}{2}z\sqrt{x} + 4x }\)

\(\displaystyle{ xz'\sqrt{x} = 2z^2x +4x \ \ | \cdot \frac{1}{x} }\)

\(\displaystyle{ z' \sqrt{x} = 2z^2 + 4 }\)

Otrzymaliśmy równanie, które całkuje się przez funkcje elementarne.

@janusz a to tak ładnie można było rozwiązać
Ja to równanie rozwiązywałem schematycznie
1. Sprowadzenie do postaci kanonicznej aby sprawdzić czy nie otrzymamy równania specjalnego
2. Sprowadzenie do równania liniowego drugiego rzędu
3. Całkowanie równania drugiego rzędu szeregiem potęgowym (metoda Frobeniusa)
Ostatecznie wyszło mi to co tobie . Nie zajrzałem do twojego rozwiązania bo
wątek jest w dziale o rachunku różniczkowym a do równań różniczkowych jest odrębny dział tu na forum
Gdybym zauważył to twoje rozwiązanie na pewno dałbym do niego odnośnik bo mi się ono podoba
Jak doszedłeś do tego podstawienia ?

Nie pamiętam, ale chyba pomocą służyła mi książka Matwiejewa. Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Ja też ją mam ale po rosyjsku a rosyjskiego już nie miałem w szkole a mamuśka nie chciała mnie uczyć
Niczego nie zyskałem na tym że była nauczycielką bo tego co niby mnie nauczyła w latach przedszkolnych i tak nauczyłbym się w szkole
Mimo to udało mi się tam znaleźć jak sprowadzić równanie Riccatiego do postaci kanonicznej
To jak równanie Riccatiego sprowadzić do liniowego drugiego rzędu pokazał użytkownik
memberlist.php?mode=viewprofile&u=15674
na innym forum

A tak u Matwiejewa chyba coś takiego było ale przez tę nieznajomość języka nie przeglądałem tej książki zbyt dokładnie