Karuzela z dziećmi
: 4 maja 2023, o 20:23
Pięcioro dzieci bawiło się w parku na karuzeli. Masa karuzeli wynosiła \(\displaystyle{ 140\,kg}\), jej promień był równy \(\displaystyle{ 1,7\,m}\), a średnia masa każdego dziecka to \(\displaystyle{ 45\,kg.}\) Moment bezwładności karuzeli jest taki, jak moment bezwładności krążka względem osi przechodzącej przez środek jego masy, a moment bezwładności dziecka wynosi \(\displaystyle{ mr^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) to odległość dziecka od osi obrotu.
(1) Dzieci rozkręciły karuzelę, biegnąc po jej brzegu wokół krawędzi. Jaką prędkość kątową uzyskała karuzela, jeżeli dzieci biegły z tą samą prędkością \(\displaystyle{ 3,4\, \frac{m}{s}}\). Załóż, że biegły przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Podaj kierunek i zwrot prędkości kątowej karuzeli.
Mam pewien problem z tym zadaniem. Odpowiedź widniejąca z tyłu książki to \(\displaystyle{ \omega_{1}=\frac{v}{R}=2\,\frac{rad}{s}}\), kierunek pionowy, zwrot w górę. Czyli tak, jakby autor założył, że prędkość liniowa karuzeli i dzieci będzie identyczna (nawet co do zwrotu)? Czy zwrot nie powinien być w dół, bo skoro dzieci idą przeciwnie do wsk. zegara, to karuzela powinna się obracać zgodnie ze wsk. zegara, czyli (zgodnie z zasadą śruby prawoskrętnej) zwrot prędkości kątowej powinien być w dół. Wartość natomiast policzyłem z zasady zachowania momentu pędu:
\(\displaystyle{ 0 = \vec{L}_{k+5d}+\vec{L}_{5d}\\
\vec{L}_{k+5d} = - \vec{L}_{5d}\\
L_{k+5d} = L_{5d}\\
(I_k+5I_d)\omega_1 = 5mvR\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{I_k+5I_d}\\
I_k=\frac{1}{2}MR^2\\
I_d=mR^2\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{\frac{1}{2}MR^2+5mR^2}\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{R^2(\frac{1}{2}M+5m)}\\
\omega_1 = \frac{5mv}{R(\frac{1}{2}M+5m)}\\
\omega_1 = \frac{5\cdot 45\cdot 3,4}{1,7(\frac{1}{2}\cdot 140+5\cdot 45)}=\frac{765}{501,5} \approx 1,53\, \frac{rad}{s}}\)
Które rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie moje, to proszę kogoś o wytłumaczenie. Z góry dziękuję za pomoc.
(1) Dzieci rozkręciły karuzelę, biegnąc po jej brzegu wokół krawędzi. Jaką prędkość kątową uzyskała karuzela, jeżeli dzieci biegły z tą samą prędkością \(\displaystyle{ 3,4\, \frac{m}{s}}\). Załóż, że biegły przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Podaj kierunek i zwrot prędkości kątowej karuzeli.
Mam pewien problem z tym zadaniem. Odpowiedź widniejąca z tyłu książki to \(\displaystyle{ \omega_{1}=\frac{v}{R}=2\,\frac{rad}{s}}\), kierunek pionowy, zwrot w górę. Czyli tak, jakby autor założył, że prędkość liniowa karuzeli i dzieci będzie identyczna (nawet co do zwrotu)? Czy zwrot nie powinien być w dół, bo skoro dzieci idą przeciwnie do wsk. zegara, to karuzela powinna się obracać zgodnie ze wsk. zegara, czyli (zgodnie z zasadą śruby prawoskrętnej) zwrot prędkości kątowej powinien być w dół. Wartość natomiast policzyłem z zasady zachowania momentu pędu:
\(\displaystyle{ 0 = \vec{L}_{k+5d}+\vec{L}_{5d}\\
\vec{L}_{k+5d} = - \vec{L}_{5d}\\
L_{k+5d} = L_{5d}\\
(I_k+5I_d)\omega_1 = 5mvR\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{I_k+5I_d}\\
I_k=\frac{1}{2}MR^2\\
I_d=mR^2\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{\frac{1}{2}MR^2+5mR^2}\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{R^2(\frac{1}{2}M+5m)}\\
\omega_1 = \frac{5mv}{R(\frac{1}{2}M+5m)}\\
\omega_1 = \frac{5\cdot 45\cdot 3,4}{1,7(\frac{1}{2}\cdot 140+5\cdot 45)}=\frac{765}{501,5} \approx 1,53\, \frac{rad}{s}}\)
Które rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie moje, to proszę kogoś o wytłumaczenie. Z góry dziękuję za pomoc.