Matematyka.pl

Ostrosłup prawidłowy trójkątny \(\displaystyle{ ABCS}\) o krawędzi podstawy równej \(\displaystyle{ 4}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi podstaw \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) oraz środki krawędzi bocznych \(\displaystyle{ AS}\) i \(\displaystyle{ CS}\). Powstały w ten sposób przekrój jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Oblicz pole przekroju i objętość ostrosłupa. Mam rozwiązanie tego zadania w książce i nie bardzo rozumiem początku rozwiązania. Oznaczmy wierzchołki przekroju \(\displaystyle{ K,L,M,N}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) leży na środku \(\displaystyle{ AB}\), punkt \(\displaystyle{ L}\) leży na środku \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ M}\) leży na środku krawędzi \(\displaystyle{ CS}\) i punkt \(\displaystyle{ N}\) leży na środku krawędzi \(\displaystyle{ AS}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) spodek wysokości ostrosłupa. Oto rozwiązanie. Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\), zaś punkt \(\displaystyle{ P}\) niech będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ N}\) na płaszczyznę podstawy ostrosłupa. Wówczas trójkąt \(\displaystyle{ KPN}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ BOS}\) w skali \(\displaystyle{ 1:2}\). Mam rysunek tego ostrosłupa, ale skąd te dwa trójkąty są podobne w takiej skali ? Wiem tylko z rysunku, że oba są prostokątne i ten trójkąt \(\displaystyle{ KPN}\) ma kąt \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Żadna cecha podobieństwa mi to nie pasuje.

Dodano po 2 minutach 32 sekundach:
A jeszcze jedno wynika z rysunku, że punkty \(\displaystyle{ A, P, O}\) i \(\displaystyle{ L}\) leżą na jednej prostej, czyli na wysokości podstawy.

major37 pisze: 2 maja 2023, o 16:36 Wówczas trójkąt \(\displaystyle{ KPN}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ BOS}\) w skali \(\displaystyle{ 1:2}\). Mam rysunek tego ostrosłupa, ale skąd te dwa trójkąty są podobne w takiej skali ?

To podobieństwo, to jest po prostu jednokładność o środku w \(A\). Dla par punktów \(K\) – \(B\) i \(N\) – \(S\) to trywialne, a do tego dodać należy, że w jednokładności prosta przechodzi na prostą równoległą.