Matematyka.pl

Witam

Proszę o pomoc w rozwiązaniu. O ile w pierwszym podpunkcie mam pewien plan, o tyle w drugim nie wiem jak sie zabrać.

a)
\(\displaystyle{ \int\sin(2x) \cos(2x) dx }\)

Po podstawieniu
\(\displaystyle{ |t = 2x, dt = 2dx, \frac{1}{2}dt = dx|}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int\sin (t) \cdot\cos (t)dt}\)

Następnie wpadłem na pomysł aby scałkowac przez części
\(\displaystyle{ | u = \sin(t), u' = \cos(t), v' = \cos(t), v = \sin(t) |}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int\sin (t) \cdot\cos (t)dt = \frac{1}{2} (\sin^{2}(t) - \int\sin (t) \cdot\cos (t)dt)}\)

I po przeliczeniach wychodzi mi
\(\displaystyle{ \int\sin (t)\cdot\cos (t)dt = \frac{\sin^{2}t}{2}}\)

Jak to sprowadze znów do x to wychodzi mi inny wynik niż Wolframowi. Nie bardzo wiem, gdzie popełniłem błąd.

b)
\(\displaystyle{ \int\frac{\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)} dx }\)

a) wersja prostsza:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sin(2x) \cos(2x) dx= \frac{1}{2} \int_{}^{} \sin(4x) dx= \frac{-1}{8} \cos 4x +C}\)
b)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)} dx =\left[ t=\cos 2x \right]= \int_{}^{} \frac{1}{t^2} \frac{-dt}{2}= \frac{1}{2t}+C= \frac{1}{2\cos 2x}+C }\)