Matematyka.pl

Podczas rozmowy z moim przyjacielem wyszła dyskusja o tym co oznacza \(\displaystyle{ +}\) w zapisie kanonicznym liczby zespolonej \(\displaystyle{ a + ib.}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ a,b \in \RR,}\) z definicji wiemy, że \(\displaystyle{ i^2 = -1.}\)

Jednak co oznacza \(\displaystyle{ +}\)? Czytając o algebrze dowiedziałem się, że plus plusowi nie równy. Zacząłem się więc zastanawiać jak dodać liczbę rzeczywistą do liczby urojonej, bo z taką definicją się nie spotkałem. Wiemy jak dodawać liczby rzeczywiste (z aksjomatów), wiemy jak dodawać liczby zespolone (z definicji), ale co oznacza \(\displaystyle{ a + ib}\)?
Spotkałem się z opinią, że to tylko zapis.
Z drugiej strony możemy to też zinterpretować graficznie jako relację dwóch liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ +(a,b),}\) chociaż nie wiem czy słusznie. Z drugiej strony nie daje mi spokoju pytanie jak sobie z tym poradzić algebraicznie?

TLDR: Czym jest ten diabelski plus w zapisie \(\displaystyle{ a + ib}\)?

\(\displaystyle{ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ a+bi }\) to suma liczb zespolonych

A to nie jest tak, że do zdefiniowania dodawania w ciele liczb zespolonych korzysta się już z postaci kanonicznej?

Zbiór liczb zespolonych definiujesz jako \(\CC=\RR\times\RR\) z działaniami:
\((x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)\)
\((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)\)

Funkcja \(\varphi:\RR\to\CC\) określona wzorem \(\varphi(x)=(x,0)\) jest naturalnym zanurzeniem zbioru liczb rzeczywistych w liczby zespolone. Funkcja ta pozwala utożsamić liczbę rzeczywistą \(x\) z liczbą zespoloną \((x,0)\). Ponadto liczbę zespoloną \((0,1)\) oznaczamy symbolem \(i\). Wtedy każdą liczbę zespoloną \((x,y)\) można zapisać jako \(x+iy\) (a ściślej, \(\varphi(x)+i\cdot\varphi(y)\)), gdzie symbol \(+\) oznacza dodawanie liczb zespolonych, zdefiniowane wyżej.

Czym jest ten diabelski plus

Jest łącznikiem materii (liczby rzeczywiste) z platońskim światem idei urojonej, którą wybitni teologowie uznają jako zaświaty połączone z wrotami piekielnymi,
stąd Twoja uwaga o diabelskim plusie jest jak najbardziej na miejscu...

SidCom pisze: 16 kwie 2023, o 08:14 \(\displaystyle{ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ a+bi }\) to suma liczb zespolonych

No offence ale imho ta odpowiedź kompletnie nie trafia w sedno sprawy być może jest zbyt lakoniczna i Cię nie zrozumiałem. Tu nie sumujemy liczby zespolonych, a rzeczywistą i czysto urojoną (a przynajmniej nic jest to jasne). Więc jest słuszne zastanawiać się czym jest \(\displaystyle{ +}\) pomiędzy. Co do pytania to następujące podejście

Samouk1 pisze: 16 kwie 2023, o 00:31 Spotkałem się z opinią, że to tylko zapis.

jest całkiem niezłe. Choć konwencje taką można uzasadnić bardziej systematycznie. Gdyby \(\displaystyle{ U,V}\) były przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem \(\displaystyle{ \sf{K}}\) to zbiór \(\displaystyle{ U \times V }\) z działaniami

• \(\displaystyle{ +:(U\times V)\times (U\times V)\to U\times V}\),

• \(\displaystyle{ \left( \alpha\cdot\right) _{\alpha\in {\sf{K}}}:U\times V\to U\times V}\),

zdefiniowanymi po współrzędnych; \(\displaystyle{ (u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \cdot (u,v)=(\alpha u, \alpha v) }\) definiuje sumę prostą \(\displaystyle{ U \oplus V}\). Póki co w ogóle nie pojawił się tu ów tajemniczy \(\displaystyle{ +}\). Możesz spróbować zastanowić się czym są \(\displaystyle{ +}\)-sy powyżej i skąd pochodzą. Teraz tajemniczy \(\displaystyle{ +}\). Czasem pary \(\displaystyle{ (u,v)}\) zapisujemy po prostu jako \(\displaystyle{ u+v}\). I jest to uzasadniane bo zbiór \(\displaystyle{ U\times\{0\}\subset U \oplus V}\) chciało by się utożsamić z \(\displaystyle{ U}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ \{0\}\times V \subset U \oplus V}\) z \(\displaystyle{ V}\). Gdyby takie naturalne utożsamienie mieć to napis \(\displaystyle{ (u,v)=(u,0)+(0,v)\sim u+v}\) jest naturalną konsekwencją. I tak się sprawa ma na \(\displaystyle{ \CC}\) które jest zgodnie z koncepcją Hamiltona zbiorem \(\displaystyle{ \RR \times \RR}\) z pewnymi działaniami. Ponad to konwencja jest taka, że \(\displaystyle{ 1=(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ i=(0,1)}\) zatem utożsamiając \(\displaystyle{ \RR \times\{0\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{0\} \times \RR }\) z \(\displaystyle{ \RR}\) jak to wcześniej opisałem mamy


przy czym ostatnia równość przechodzi przez to utożsamienie (swoją drogą to jest to naturalne zanurzenie o którym pisał 3a174ad9764fefcb).

A jak liczby zespolone zdefiniujesz jako zbiór macierzy `2\times 2` postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&-b\\b&a\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\) to sie okaże, że to po prostu dodawanie macierzy tylko zapisane przy użyciu konwencji \(\displaystyle{ a\leftrightarrow\begin{bmatrix} a&0\\0&a\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ i\leftrightarrow\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\)

Janusz Tracz pisze: 16 kwie 2023, o 14:28
No offence ale imho ta odpowiedź kompletnie nie trafia w sedno sprawy być może jest zbyt lakoniczna i Cię nie zrozumiałem (...)

No offence Januszu ale uzmysłowienie Samoukowi Pierwszemu, że prosta rzeczywista jest zanurzona w płaszczyźnie zespolonej jest kluczowe, żeby pojął, że można dodać \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ ib}\)

\(\displaystyle{ "+"}\) to nie jest tylko zapis!
Wykonujemy działania na liczbach zespolonych \(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)}\) po prostu wymnażając nawiasy, nieprawdaż?

SidCom pisze: 16 kwie 2023, o 22:10Wykonujemy działania na liczbach zespolonych \(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)}\) po prostu wymnażając nawiasy, nieprawdaż?

Co jest konsekwencją definicji podanej przez 3a174ad9764fefcb.

JK