Matematyka.pl

Drut metalowy o długości \(\displaystyle{ 20\,cm}\) zgięto w losowo wybranym punkcie. Dłuższą z pozostałych części zgięto jeszcze w dwóch punktach tak, że powstała prostokątna ramka. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że pole ograniczone przez tę ramkę nie przekracza \(\displaystyle{ 21\, cm^2.}\)

y- ''dłuższa z pozostałych części'' / niewątpliwie \(\displaystyle{ 10<y<20}\)
x- bok ramki / niewąpliwie 2x<y
Założenia dają na płaszczyźnie XOY trapez o wierzchołkach (0,10) , (5,10) , (10, 20), (0,20).
Punkty trapezu to przestrzeń zdarzeń elementarnych, a do prawdopodobieństwa wezmę jego pole równe 75.
Warunek: \(\displaystyle{ x(y-2x)<21 }\) reprezentuje pole pod krzywą \(\displaystyle{ y<2x+ \frac{21}{x} }\),

Szukane prawdopodobieństwo to stosunek odpowiednich pól:
\(\displaystyle{ P= \frac{75- \int_{5- \frac{ \sqrt{58} }{2} }^{5+ \frac{ \sqrt{58} }{2}}(20 -(2x+\frac{21}{x} ))dx }{75} }\)

Ale ramka ma być prostokątna. Pierwsze gięcie jednoznacznie określa miejsce pozostałych dwóch. Pole prostokąta to:
\(\displaystyle{ x(10-x)>21}\), czyli jak pierwsze gięcie dalej niż trzeci i bliżej niż siódmy centymetr druta (licząc od obu końców druta) to nie spełnimy warunków zadania. Czyli szukane prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ \frac{6}{10} }\).

Ech, chyba jeszcze się nie obudziłem skoro tak opacznie odczytałem treść zadania. Wydawało się mi, że chodzi o trzy boki prostokątnej ramki, i stąd powyższe wyniki. Sorry.