karolex123 pisze: ↑11 kwie 2023, o 12:24
Tak! Taki kontrprzykład znajdziemy najwcześniej w w przestrzeni trójwymiarowej
Czyli sytuacja taka sama jak tutaj:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere
The horned sphere, together with its inside, is a topological 3-ball, the Alexander horned ball, and so is simply connected; i.e., every loop can be shrunk to a point while staying inside. The exterior is not simply connected, unlike the exterior of the usual round sphere; a loop linking a torus in the above construction cannot be shrunk to a point without touching the horned sphere. This shows that the Jordan–Schönflies theorem does not hold in three dimensions, as Alexander had originally thought. Alexander also proved that the theorem does hold in three dimensions for piecewise linear/smooth embeddings. This is one of the earliest examples where the need for distinction between the categories of topological manifolds, differentiable manifolds, and piecewise linear manifolds became apparent.
Pewne rozumowania, które działają w dwóch wymiarach, załamują się w wymiarach wyższych, bo da się skonstruować odpowiednio
dziwny obiekt. Czy znane są konstrukcje rozmaitości w wyższych wymiarach, które są kontrprzykładami do zadania z pierwszego wpisu?
szuler pisze: ↑9 kwie 2023, o 23:02
rozmaitość Whiteheada \(W\) zanurza się w \(\mathbb{R}^{3}\)
Wiesz może, gdzie znajdę coś więcej na ten temat? Musiałem się trochę nagimnastykować, żeby znaleźć to zapisane wprost - było to
jedno zdanie w pracy, o której wspomniałem.
PS. Żądanie od kogoś 36 euro za możliwość przeczytania artykułu z 1935 roku to dla mnie jakaś aberracja. Widocznie magowie z szóstego kręgu magii nie chcą, żeby byle kto czytał takie rzeczy ;−)
Dodano po 2 dniach 7 godzinach 52 minutach 39 sekundach:
szuler pisze: ↑9 kwie 2023, o 23:02
rozmaitość Whiteheada \(W\) zanurza się w \(\mathbb{R}^{3}\)
Dostałem bardzo fajną podpowiedź (nie powiem, gdzie :^) ) i chyba już rozumiem. Mianowicie \(W\) jest właściwym podzbiorem \(S^{3}\). Istnieje więc \(p\in S^{3}\) taki, że \(p\notin W\). Wtedy \(W \subseteq S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \). Funkcja \(f:W\rightarrow S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \), \(f(x)=x\) jest zanurzeniem \(W\) w \(S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace\). Faktem jest również to, że \(S^{n}\) bez jednego punktu jest homeomorficzna z \(\mathbb{R}^{n}\). Niech \(g:S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) będzie homeomorfizmem. Wtedy \(g\upharpoonright_{f[ W ]} \circ f\) jest zanurzeniem \(W\) w \(\mathbb{R}^{3}\). Jeśli coś tutaj jest nie tak, to prosiłbym o wskazanie błędu.
