Wykaż, że liczba jest całkowita, jeśli jej potęgi są c

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
*Kasia
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Wykaż, że liczba jest całkowita, jeśli jej potęgi są c

Post autor: *Kasia » 23 paź 2007, o 07:51

Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a^5}\) i \(\displaystyle{ a^7}\) są całkowite, to liczba \(\displaystyle{ a}\) też jest całkowita.

Probowałam dowód niewprost, ale nie wyszło. Czy ktoś mógłby mi jakiejś wskazówki udzielić?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wykaż, że liczba jest całkowita, jeśli jej potęgi są c

Post autor: scyth » 23 paź 2007, o 08:30

\(\displaystyle{ a^5 \mathbb{Z}, \ a^7 \mathbb{Z} \\
a^7=a^5 a^2 \\
a^2 \ - \hbox{wymierna} \\
a^5=a^2\cdot a^2\cdot a \\
a \ - \hbox{wymierna} \\}\)

No i stąd już łatwo (p,q wzgl. pierwsze, to i do piatej potegi sa wzgl. pierwsze...)

ODPOWIEDZ