Norma Wassersteina
: 26 mar 2023, o 17:38
Witam. Chciałabym wykazać poprawność określenia normy Wassersteina. Nie wiem jak zacząć. Z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc
Nie doczytałem że rozważamy rodzinę funkcji wyłącznie lipschitzowskich bez założenia że są ograniczone w normie supremum przez 1.
Niestety ale w tym przypadku norma nie jest poprawnie określona. Mamy bowiem np
\(\displaystyle{ f_n(x)=n}\), \(\displaystyle{ f_n(x)\in \mathcal{F}_W}\)
Weźmy miarę np \(\displaystyle{ \mu=2\delta_{x}-\delta_{y}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq y}\)
Wobec czego
\(\displaystyle{ \left|\langle f_n,\mu\ \rangle \right|=|2f_n(x)-f_n(y)|=n}\)
Normę Wassersteina rozważa się raczej na miarach probabilistycznych i to takich o skończonym pierwszym momencie wtedy możemy mówić o przestrzeni Banacha. Bez tego założenia musimy dopuścić wartości nieskończone, ale wtedy to też nie mamy normy
