Matematyka.pl

Jak obliczyć całkę:

\(\displaystyle{ \iiint zdxdydz}\)

\(\displaystyle{ V: z=x^2+y^2, z^2=x^2+y^2}\)

Proszę o pomoc w wyznaczeniu górnej granicy z

Chodzi o objętość między paraboloidą obrotową, a stożkiem obrotowym dwupowłokowym.
Obszar całkowania:\(\displaystyle{
-1 \le x \le 1\\
- \sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}\\
x^2+y^2 \le z \le \sqrt{x^2+y^2}}\)

PS
Przejście na współrzędne cylindryczne ułatwi obliczenia.

Dziękuję bardzo, ale proszę jeszcze o sprawdzenie czy to będzie taka, jak poniżej, całka. Jeśli tak, to znaczy, że już rozumiem


\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\pi}d\phi}\) \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}r^3dr}\) \(\displaystyle{ \int_{r^2}^{r^4}dz}\)

Tak na oko to ta całka jest ujemna. Pomyśl dlaczego jest źle.

Nawet bez sprawdzania funkcji podcałkowej i granic całkowania (które są błędne) widać iż to nieprawidłowy zapis. Zmienna \(\displaystyle{ z}\) jest zależna od \(\displaystyle{ r}\) więc nie można przejść na sugerowany iloczyn całek.

Tu zaglądnij dopiero po przemyśleniach zadanych przez a4karo

Proszę w takim razie o sprawdzenie poniższej całki. Jeśli jest dobrze, to znaczy, że chyba rozumiem, jeśli nie, proszę o dalsze nakierowanie.

Należy obliczyć:

\(\displaystyle{ \iiint{(x^2+y^2)dxdydz}}\)

\(\displaystyle{ V:\ x^2+y^2=1,\ x^2+y^2=4,\ z=0,\ z=1,\ y=0,\ y=x\ }\)

Mój pomysł jest taki:

\(\displaystyle{ V=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{(\int_{1}^{2}{(\int_{0}^{1}{rdz)}}dr)d\varphi}}\)

Dobrze?

Jeżli używasz standardowych oznaczeń, to granice całkowania po `\varphi` nie są poprawnie określone. No i gdzies zabrakło funkcji, którą całkujesz.

Czy teraz dobrze?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(\int_{1}^{2}{(\int_{0}^{1}{r^3dz)}}dr)d\varphi}}\)

Jak nie, to proszę już o konkretną podpowiedź, bo w takim razie nie wiem

Dodano po 12 minutach 32 sekundach:
I jeszcze jedno pytanie, czy w przypadku obliczania objętości ograniczonej powierzchniami:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x,\ {z=x}^2+y^2,\ z=0}\)

powinna to być taka całka?

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\int_{1}^{2}{(\int_{{(x-1)}^2+y^2}^{x^2+y^2}{rdz)}}dr)d\varphi}}\)

Pierwsze ok.
W drugim jest tzw. kotopies: masz mieszankę zmiennych euklidesowych i biegunowych, a tak nie może być.

Poza tym pomieszałes ograniczenie dla zmiennej `z`

Jeżeli używasz standardowej zamiany zmiennych (szkoda, że tego nie podałeś), to w tym przypadku granicą całkowania względem `r` zależy od `\varphi` (wykonanie rysunku znakomicie ułatwia życie)
Żeby mieć prostszą granicę całkowania po `r` możesz użyć zamiany `x=1+r\cos\varphi, y=\sin\varphi`