Równanie z NWW
: 24 mar 2023, o 13:40
Dla jakich \(\displaystyle{ a, b, c}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ 2NWW(a,b,c)= ab+bc+ca - 1 }\) ?
Tu na początku możemy założyć, że:
\(\displaystyle{ 1<a \le b \le c}\)
Tworzymy pierścień reszt:
\(\displaystyle{ \ZZ_{2abc}=\left\{ 0,1,2,3,...,a,...,b,...,c,...2abc-1\right\} }\)
Równanie wyjściowe w tym pierścieniu wygląda tak:
\(\displaystyle{ ab+ac+bc=1}\)
teraz jeżeli przyjmiemy , że mamy choć jedną parę taką, że:
\(\displaystyle{ (a,b)=d>1}\)
To będzie:
\(\displaystyle{ d|ab+ac+bc}\)
więc nasza równość będzie tak wyglądać:
\(\displaystyle{ dr=1}\)
Gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest w tym pierścieniu dzielnikiem zera, a to nieprawda, więc liczby parami muszą być względnie pierwsze...
Więc nasze równanie sprowadzi się do postaci;
\(\displaystyle{ ab+ac+bc=2abc}\)
Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ a,b,c>1}\)
\(\displaystyle{ ab+ac+bc=2abc/abc}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =2}\)
Oczywiście przy tych założeniach to równanie nie pyknie...
więc załóżmy, że:
\(\displaystyle{ c=1}\)
\(\displaystyle{ 2ab=ab+a+b-1}\)
\(\displaystyle{ ab-b=a-1}\)
\(\displaystyle{ b(a-1)=a-1}\)
wyjdzie z tego, że :
\(\displaystyle{ b=1}\)
Czyli rozwiązaniem będzie jak widać trój ka:
\(\displaystyle{ (a,1,1)}\)