Matematyka.pl

Sześcian o krawędzi długości \(\displaystyle{ n }\) podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na \(\displaystyle{ n^3 }\) sześcianów jednostkowych. Ile istnieje par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne?

Od wszystkich par odejmuję pary o dwóch wspólnych wierzchołkach i o czterech wspólnych wierzchołkach
\(\displaystyle{ {n^3 \choose 2}-6(n-1)^3-3n^2(n-1)}\)

kerajs pisze: ↑23 mar 2023, o 22:07 Od wszystkich par odejmuję pary o dwóch wspólnych wierzchołkach i o czterech wspólnych wierzchołkach
\(\displaystyle{ {n^3 \choose 2}-6(n-1)^3-3n^2(n-1)}\)

Dziękuję za odpowiedź, lecz nie do końca rozumiem skąd \(\displaystyle{ 6(n-1)^3}\) i \(\displaystyle{ 3n^2(n-1)}\) ?

aneta909811 pisze: ↑24 mar 2023, o 01:03 Dziękuję za odpowiedź, lecz nie do końca rozumiem skąd \(\displaystyle{ 6(n-1)^3}\) i \(\displaystyle{ 3n^2(n-1)}\) ?

Co mnie nie dziwi, skoro zamiast \(\displaystyle{ 6(n-1)^3}\) powinno być \(\displaystyle{ 6n(n-1)^2}\). Sorry.

W pociętej kostce dwa sześciany:
1) są rozłączne
2) mają wspólny jeden wierzchołek
3) mają wspólną krawędź (2 wierzchołki)
4) mają wspólną ścianę (4 wierzchołki)

Przypadek 3) :
Z n warstw wybieram jedną. Jej lewy tylni sześcian sąsiaduje z drugim od lewej i tyłu. Ten układ można przesunąć o \(\displaystyle{ (n-1)}\) kostek w prawo , jak i o tyle samo w przód. Stąd takich układów w warstwie jest \(\displaystyle{ (n-1)(n-1)}\). Jeśli wybiorę prawy tylny sześcian i sąsiadujący z nim drugim od prawej i tyłu to dostaję kolejne \(\displaystyle{ (n-1)(n-1)}\) układów. Dla n warstw jest więc \(\displaystyle{ 2n(n-1)^2}\) układów kostek o wspólnej krawędzi.
Prócz rozcinania kostki na n warstw cięciami poziomymi, można ja dzielić na n płatów cięciami pionowymi. I to na dwa sposoby .

Analogiczny przypadek 4) zostawiam do samodzielnego rozważenia.

A ja mam jeszcze pytanie - czemu odejmujesz te z dwoma wspólnymi wierzchołkami, skoro w zadaniu jest "nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne"?

Najprawdopodobniej dlatego, że źle zapamiętałem treść zadania. Sorry.


\(\displaystyle{ {n^3 \choose 2}-3n^2(n-1)}\)
Od wszystkich par odejmuję pary o czterech wspólnych wierzchołkach

A ja mam taki pomysł:
Dwie kostki mają więcej niż dwa wierzchołki wspólne, jeżeli stykają się całymi ścianami
1) Każda kostka wewnętrzna sześcianu ma `6` sąsiadów, z którymi styka się całymi ścianami. Takich kostek jest `(n-2)^3`
2) Każda kostka na scianie (ale nie na krawedzi) ma `5` sąsiadów, z którymi styka się całymi ścianami. Takich kostek jest `6(n-2)^2`
3) Każda kostka leżąca przy krawędzi, ale nie będąca wierzchołkiem ma `4` sąsiadów, z którymi styka się całymi ścianami. Takich kostek jest `12(n-2)`
4) Każdy wierzchołek ma `3` sąsiadów, z którymi styka się całymi ścianami. Wierzchołków jest `8`

Mamy zatem
\(\displaystyle{ \frac12\left(6(n-2)^3+5\cdot 6(n-2)^2+4\cdot12(n-2)+3\cdot 8\right)=3 n^2(n-1)}\) par, które nie spełniają warunków zadania (1/2 dlatego, że każda para została policzona dwukrotnie).

Szukanych par jest zatem \(\displaystyle{ \binom{n^3}{2}-3 n^2(n-1)=\frac12n^2(n^4-7n+6)}\)