Matematyka.pl

Należy wybrać podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...,200\right\} }\) w taki sposób, aby zawierał tyle samo elementów parzystych co nieparzystych. Na ile sposobów można to uczynić?

Każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,\dots, 200\right\} }\) mający opisaną własność można związać z czymś co nazwałbym (i to robię) zbiorem wymiany. Powiedzmy, że mamy dwie osoby \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) które mają ponumerowane karteczki kolejno numerkami ze zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ 1,3,\dots 199\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ 2,4,\dots,200\right\} }\). Osoby te chcą dokonać wymiany kilku numerków. Powiedzmy \(\displaystyle{ X}\) chce dostać za \(\displaystyle{ 1}\) \(\displaystyle{ 4}\). \(\displaystyle{ Y}\) oddaje \(\displaystyle{ 4}\) i dostaje \(\displaystyle{ 1}\). Zbiorem wymiany jest \(\displaystyle{ \left\{ 1,4\right\} }\). Pytanie jest ile jest zbiorów wymiany. Jest ich tyle co wymiń. Należy zdać sobie sprawę, że wymiany nie muszą być przemyślane. Więc równie dobrze \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) mogą położyć na stole swoje numerki wybrać losowo \(\displaystyle{ 100}\) dać \(\displaystyle{ X}\), a resztę zostawić siłą rzeczy \(\displaystyle{ Y}\). Więc takich sposobów jest \(\displaystyle{ {200 \choose 100} }\). Przy czym to podejście uwzględnia też jedną wymianę pustą to znaczy taką, gdzie nikt nic nie wymienił. Dla mnie jednak \(\displaystyle{ \varnothing}\) spełnia warunek, że jest w nim tyle samo liczb parzystych co nieparzystych wszak jest jednych i drugich \(\displaystyle{ 0}\).

Fakt, mogłem dopisać, iż sumę można liczyć od \(\displaystyle{ i=0}\) jeśli zbiór pusty uznaje się za zdarzenie sprzyjające.

PS
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} {n \choose i}= {2n \choose n} }\)
W zbiorze zadań z algebry Jeśmianowicza i Łosia udowodnienie tej równości to zadanie 1.20.6