Ile jest zbiorów otwartych?

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
szuler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: szuler »

Dasio11 pisze: 23 mar 2023, o 20:56 Jest tak, ale w jakim sensie sposób działa "bez zarzutu"?
Odnosiłem się do pierwszej odpowiedzi a4karo.
Ok, nie zrozumiałem że "widzimy dość jasno" powołuje się na prawie rozłączność (bo to nie najprostszy sposób, choć poprawny).
Fakt, nie jest to w ogóle potrzebne, ale myślę, że widać, że ten cały mój wpis to po prostu modyfikacja mojego poprzedniego dowodu. Dość fajnie to obrazuje sytuację.
Jakich wpadek?
Znów, chodziło mi o odpowiedź a4karo.
Co, że \(\displaystyle{ f}\) jest injekcja? Bo jeśli \(\displaystyle{ f_x = f_y}\), to \(\displaystyle{ x = \lim_{n \to \infty} f_x(n) = \lim_{n \to \infty} f_y(n) = y}\), przy czym korzystamy ze wspomnianej jednoznaczności granic w przestrzeniach Hausdorffa.
Eh, chyba jednak nie wszyscy wiedzą, o co mi chodzi. To właśnie tę własność tu pokazałem, zamiast po prostu się na nią powoływać.

Dodano po 42 minutach 28 sekundach:
Taka mała rozkmina. Coś mi zaświtało. Co by było, gdyby zamiast założenia, że każdy punkt naszej przestrzeni \(X\) jest granicą pewnego ciągu elementów ośrodka \(D\), założyć, że każdy punkt w \(X\) ma przeliczalną bazę otoczeń? Mając \(x\in X\) i jego bazę otoczeń \(B_{x}=\lbrace B_{1}, B_{2}, \ ... \rbrace\) możemy (zdaje mi się, że już to kiedyś sprawdzałem) stworzyć nową zstępującą bazę otoczeń \(\lbrace B_{1}, \ B_{1}\cap B_{2}, \ B_{1}\cap B_{2}\cap B_{3}, \ ... \rbrace\). Wybierając z \(D\setminus \lbrace x\rbrace\) po jednym elemencie z każdego ze zbiorów tej nowej bazy dostalibyśmy taki ciąg o wyrazach różnych od \(x\), zbieżny do \(x\). Ale jest pewien problem. Punkt \(x\) może być punktem izolowanym - wtedy na pewno się to nie uda. W związku z tym \(X\) dzieliła by się na zbiór punktów izolowanych i zbiór punktów skupienia, dla których potrafimy wybrać taki (porządny?) ciąg. Pytanie: jak duży może być zbiór punktów izolowanych takiej przestrzeni?

Dodano po 29 minutach 11 sekundach:
Coś cicho się tu zrobiło. Jeśli coś tam jednak rozumiem, to ew. kontrprzykładów należałoby szukać wśród przestrzeni, które nie mają takiej własności dot. baz otoczeń. No jest na przykład \(C([0,1])\) z topologią zbieżności punktowej, ale to jest przecież mocy \(\mathfrak{c}\). Może znacie jakieś fajne ośrodkowe topologie \(T_{2}\) na większych zbiorach? Ja aż takiej wiedzy nie mam.
PS. Czy robimy tu coś nowego, czy wszystko to jest znane od 100 lat?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10204
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2358 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: Dasio11 »

Po pierwsze: zbiór punktów izolowanych musi być podzbiorem każdego zbioru gęstego, więc w przestrzeni ośrodkowej takich punktów jest przeliczalnie wiele.

Po drugie: fragment założenia mówiący że \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, f_x(n) \neq x}\) był do niczego niepotrzebny - zarówno w Twojej, jak i mojej wersji rozwiązania - zatem punkty izolowane i tak nie są problematyczne.

Natomiast założenie o istnieniu przeliczalnej bazy w każdym punkcie przestrzeni (które ma nazwę: pierwszy aksjomat przeliczalności) jest mocniejsze od poprzedniego, że każdy punkt przestrzeni jest granicą ciągu elementów ośrodka, czego dowodzi opisana przez Ciebie konstrukcja. Z tego względu choć pomysł jest ciekawy, to nie może prowadzić do rozstrzygnięcia problemu w większej ogólności niż dotychczas.

szuler pisze: 23 mar 2023, o 22:16PS. Czy robimy tu coś nowego, czy wszystko to jest znane od 100 lat?
Zdecydowanie to drugie. ;>

Odnośnie zaś przestrzeni ośrodkowych Hausdorffa, to poleciłbym \(\displaystyle{ \beta \omega}\) (uzwarcenie Čecha-Stone’a liczb naturalnych) i \(\displaystyle{ [0, 1]^{[0, 1]}}\) z topologią produktową.
Awatar użytkownika
szuler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: szuler »

W necie piszą jakoś tak:
The maximum possible cardinality of a separable Hausdorff space is \(2^{2^{\aleph_0}}.\)
No i pewnie wszystko się zgadza, no ale ja już sprawdzić tego chyba nie dam rady.
Zdecydowanie to drugie. ;>
No wiadomo, ale dla mnie to coś zupełnie nowego, więc jest spoko.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: Jan Kraszewski »

szuler pisze: 23 mar 2023, o 22:16 Odnosiłem się do pierwszej odpowiedzi a4karo.
Dobrym zwyczajem jest cytowanie fragmentu, do którego się odnosimy wtedy unikamy niejasności.
szuler pisze: 23 mar 2023, o 22:16Coś cicho się tu zrobiło.
Jak dla mnie to wyjątkowo żywa dyskusja...
szuler pisze: 23 mar 2023, o 22:41No wiadomo, ale dla mnie to coś zupełnie nowego, więc jest spoko.
Istotnie, możesz nie pamiętać, co było 100 lat temu...

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10204
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2358 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: Dasio11 »

The maximum possible cardinality of a separable Hausdorff space is \(2^{2^{\aleph_0}}.\)
Ano zgadza się, dlatego zadanie wydało mi się ciekawe. Maksymalna moc przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest mniejsza i wynosi \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}}\). Dowodzi się tego tak jak to uczyniłeś, bo w przestrzeniach metrycznych spełnione jest założenie, że każdy punkt przestrzeni da się przedstawić jako granicę ciągu elementów ośrodka. Natomiast nie jest to prawda w dowolnych przestrzeniach topologicznych, wskutek czego możliwa jest większa moc takiej przestrzeni.

Prawidłowe ograniczenie można uzyskać dość brutalnie, zastępując ciągi przez ultrafiltry. Jest bowiem prawdą w dowolnej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) ze zbiorem gęstym \(\displaystyle{ D}\), że każdy punkt \(\displaystyle{ X}\) jest granicą pewnego ultrafiltru na \(\displaystyle{ D}\). Jeśli dodatkowo \(\displaystyle{ X}\) jest Hausdorffa, to różnym punktom odpowiadają różne ultrafiltry. Z kolei jest rzeczą znaną, że ultrafiltrów na dowolnym zbiorze nieskończonym \(\displaystyle{ Z}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ 2^{2^{|Z|}}}\). Ultrafiltry to w ogóle bardzo pożyteczne narzędzie w przestrzeniach topologicznych, gdzie ciągi już nie wystarczają (choć nety są jeszcze lepsze).

Jednak można też uczynić to elementarnie. Choć dowolnego punktu przestrzeni nie koduje już ciąg elementów \(\displaystyle{ D}\), to jednak da się go zakodować pewną strukturą zdefiniowaną wyłącznie w oparciu o \(\displaystyle{ D}\). Zliczając takie struktury (uprzednio je opisawszy), można uzyskać szukane ograniczenie górne na moc przestrzeni.

Warto jeszcze dodać, że dowodem na to iż ograniczenia nie można poprawić są oba wspomniane wyżej przykłady:
Dasio11 pisze: 23 mar 2023, o 22:32 Odnośnie zaś przestrzeni ośrodkowych Hausdorffa, to poleciłbym \(\displaystyle{ \beta \omega}\) (uzwarcenie Čecha-Stone’a liczb naturalnych) i \(\displaystyle{ [0, 1]^{[0, 1]}}\) z topologią produktową.
Awatar użytkownika
szuler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: szuler »

Dasio11 pisze: 23 mar 2023, o 23:08 Maksymalna moc przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest mniejsza i wynosi \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}}\).
O jasny gwint. Widzę, że jest to niesamowicie głęboko ugruntowany fakt, i można to udowodnić na mnóstwo różnych sposobów. Chyba się nie pomylę, jeśli powiem, że mało jest takich twierdzeń? A jednak z jakiegoś dziwnego powodu nie mówi się o tym na typowych kursach. Czyżby ktoś uznał, że zwykli śmiertelnicy nie powinni mieć takiej wiedzy? Nie przyjdą po mnie jacyś panowie w garniturach? ;p

Dodano po 41 minutach 7 sekundach:
Dasio11 pisze: 23 mar 2023, o 22:32 Po drugie: fragment założenia mówiący że \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, f_x(n) \neq x}\) był do niczego niepotrzebny - zarówno w Twojej, jak i mojej wersji rozwiązania
Nie no, aż tak to chyba nie. W mojej argumentacji jest to niezbędne. Ale i tak można to wszystko zrobić inaczej.

To całkiem fajne, że można tyle rzeczy zrozumieć dzięki jednej wskazówce do zadania, nie?

Dodano po 42 minutach 44 sekundach:
Dasio11 pisze: 23 mar 2023, o 22:32 Po drugie: fragment założenia mówiący że \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, f_x(n) \neq x}\) był do niczego niepotrzebny - zarówno w Twojej, jak i mojej wersji rozwiązania
Trochę się pośpieszyłem. Rozumiem, że warunek \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN) \, f_x(n) \neq x}\) nie jest potrzebny w tej mojej drugiej próbie rozwiązania, bo w pierwszej jest konieczny, tak?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10204
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2358 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: Dasio11 »

Rzeczywiście, jest konieczny.
Awatar użytkownika
szuler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Ile jest zbiorów otwartych?

Post autor: szuler »

OK, wygląda to jakoś tak. Poprawcie mnie, jeśli się mylę.
W moim rozwiązaniu, w którym tworzę te zbiory parami prawie rozłączne, wyrazy ciągów muszą być różne od odpowiednich granic. Można to założenie osłabić i wystarczą dowolne zbieżne ciągi elementów ośrodka, żeby dostać to oszacowanie. Ale to w tej chwili dla mnie błahostka, zwisa mi to flakiem, jak Tuwimowi jego pochodzenie.

Dodano po 11 minutach 34 sekundach:
Dasio11 pisze: bo w przestrzeniach metrycznych spełnione jest założenie, że każdy punkt przestrzeni da się przedstawić jako granicę ciągu elementów ośrodka.
I to nawet w niebrzydki sposób, nie?

Dodano po 12 minutach 50 sekundach:
a4karo pisze: 23 mar 2023, o 19:48 W przypadku przestrzeni skończonej twoje rodziny nie istnieją.
Leję ze śmiechu, jak sobie o tym przypominam. Ale 50 lat zajmowania się matematyką, kurła!
a4karo pisze: 27 sty 2018, o 19:27 Ja nie wiem co to jest wariacja z powtórzeniami. Zajmuję się matematyką 50 lat i nigdy mi taka terminologia nie była potrzebna.
XDDDDDDDDDDD

Dodano po 24 minutach 35 sekundach:
a4karo pisze: 8 lut 2023, o 21:29
Jakub Gurak pisze: 8 lut 2023, o 17:08Interesuje mnie rozwijanie (w zasadzie dowolnej) gałęzi z teorii mnogości na ważniaku ( rozkłady zbioru, relacje, przedziały w zbiorze liniowo uporządkowanym, itd. )- wszystko to mogłoby być fajne, a jednak nikt się tym nie interesuje, to smutne... :?
Czy naprawdę uważasz, że rozwijasz jakąkolwiek dziedzinę teorii mnogości? Jak na razie twoje rozważania kwalifikują się być może na listy zadań dla studentów pierwszego semestru, a nieporadność, jaką demonstrujesz w prowadzonych rozumowaniach, zniechęca czytelników.

Rozumem, że Ciebie mogą takie rozważania pociągać, ale nie spodziewaj się zachwytów nad ich oryginalnością czy elegancją. Smutne jest zaś to, że magister matematyki nie potrafi ocenić jakości prezentowanych wyników. To nic osobistego. To raczej uwaga na temat jakości kształcenia na niektórych uczelniach.
Student drugiego semestru studiów licencjackich (nawet to tak nie do końca, bo raczej rzucę studia) pozdrawia.
ODPOWIEDZ