Matematyka.pl

Mam zadanie: udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są dodatnie to zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2a+c}{b}+ \frac{b+5d}{c}+ \frac{2bd+5ac}{ad} \ge 16 }\)

zapisuję to jako \(\displaystyle{ x= \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d} }\)
z nierówności między średnimi \(\displaystyle{ \frac{x}{6} \ge \sqrt[6]{\frac{2a}{b} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{5d}{c} \cdot \frac{2b}{a} \cdot \frac{5c}{d}} = \sqrt[6]{100}= \sqrt[3]{10} }\)
więc \(\displaystyle{ x \ge 6 \sqrt[3]{10} \approx 12,93 }\), ale nie wynika z tego, że \(\displaystyle{ x \ge 16}\)
czy popełniłem gdzieś błąd?

Błędu nie ma, tylko metoda jest nieefektywna...

Powinieneś wiedzieć, że \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2 }\). A wtedy mamy

\(\displaystyle{ \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d}=2\cdot \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) +\left(\frac{c}{b}+ \frac{b}{c} \right) +5\cdot \left( \frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)\ge 2\cdot 2+2+5\cdot 2=16.}\)

JK

Bardzo dziękuję za pomoc.
Skoro mój wynik jest poprawny, to czy dwa rozwiązania nie kłócą się ze sobą? Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.

wojciechfil20 pisze: 23 mar 2023, o 09:59Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.

Jeżeli udowodnisz, że wszyscy studenci na roku zdali egzamin z przedmiotu X, a ja udowodnię, że wszyscy studenci na tym roku zdali egzamin z przedmiotu X na ocenę przynajmniej dobrą, to czy nasze rozwiązania kłócą się za sobą dlatego, że można zdać egzamin na ocenę dostateczną?

JK