Matematyka.pl

Cześć, mam takie zadanie z rachunku prawdopodobieństwa ale utykam na fragmencie z teorii całek, mianowicie muszę znaleźć:
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }1 _{A} dx }\) oraz \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }1 _{A} dy }\), gdzie \(\displaystyle{ 1 _{A} }\) jest indykatorem zbioru \(\displaystyle{ A}\), natomiast zbiór \(\displaystyle{ A}\) to trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ B=\left( -2,1\right), C=\left( 1,-1\right), D=\left( 2,-1\right) }\).
I wyznaczam proste przechodzące przez wierzchołki i otrzymuje, że odcinek \(\displaystyle{ BC}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ g:x=- \frac{3}{2}y- \frac{1}{2} }\) natomiast \(\displaystyle{ BD}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ f:x=-2y}\). Więc jeśli chodzi o granice całkowania to \(\displaystyle{ x}\) przebiega zbiór \(\displaystyle{ \left[- \frac{3}{2}y- \frac{1}{2},-2y \right] }\) natomiast \(\displaystyle{ y}\) przebiega zbiór \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right] }\). Ale nie wiem jak to zastosować do granic całkowania. Jeżeli chodzi o całkę z \(\displaystyle{ dy}\) to wydaje mi się że całe \(\displaystyle{ R}\) zmieni się po prostu w odcinek \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right] }\) ale nie wiem po czym całkować wtedy i jak policzyć taką całkę.

Cześć, zwróć uwagę, że indykator jest tutaj funkcją zarówno x jak i y, czyli \(\displaystyle{ 1_A (x,y)}\). Po scałkowaniu względem jednej zmiennej dostajesz funkcję tej drugiej.

Czyli np. wg tego co napisałeś całka po dx to będzie długość odcinka \(\displaystyle{ [-\frac{3}{2} y - \frac{1}{2}, -2 y]}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} y}\) dla \(\displaystyle{ y \in [-1,1]}\) i \(\displaystyle{ 0}\) poza. Podobnie w drugą stronę - wyznaczyć dla jakich \(\displaystyle{ y}\) przy zadanym \(\displaystyle{ x}\) punkt leży w trójkącie i scałkować po tym odcinku jedynkę.

Jeśli masz wątpliwość skąd to się wzięło, to zauważ, że dla wybranego \(\displaystyle{ y \in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} 1_A (x,y) dx = \int_{-\infty}^{-\frac{3}{2} y - \frac{1}{2}} 0 \ dx + \int_{-\frac{3}{2} y - \frac{1}{2}}^{-2y} 1 \ dx + \int_{-2y}^{\infty} 0 \ dx }\)

Dla innych \(\displaystyle{ y}\) funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 0}\) niezależnie od \(\displaystyle{ x}\), więc całka się zeruje.

Właśnie w drugą stronę nie bardzo widzę jak podzielić ten trójkąt. Bo dla ustalonego \(\displaystyle{ y}\) mamy poziome długości odcinków i idziemy aż do trzeciego brzegu trójkąta. Ale jak ustalamy \(\displaystyle{ y}\) i chcemy iść pionowymi odcinkami to muszę podzielić trójkąty na dwa? I prosta dzieląca będzie pionową prostą \(\displaystyle{ x=1}\)?
I czy ogólnie prawdą że mogę sobie rozbić indykator na dwa różne, np. w tm przypadku: \(\displaystyle{ 1 _{A}=1 _{x \in \left[ - \frac{3}{2}y- \frac{1}{2}, -2y \right] } \times 1 _{y \in \left[ -1,1\right] } }\)

Tak, dzielisz na dwa trójkąty, czyli w wyniku dostaniesz funkcję określoną przedziałem (w zasadzie to w tym co zrobiłeś najpierw też tak jest - dla y spoza \(\displaystyle{ [-1,1]}\) całka daje \(\displaystyle{ 0}\)).

Co do drugiego pytania to wystarczy zastanowić się nad definicją indykatora: przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\) jeżeli \(\displaystyle{ (x,y) \in A}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla każdej innej pary \(\displaystyle{ (x,y)}\). Iloczyn tak samo, tylko prawdę mówiąc nie jestem pewny takiego zapisu, ja bym napisał tak:
\(\displaystyle{ 1_A(x,y) = 1_{[-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}, -2y]}(x) \ 1_{[-1,1]}(y)}\)