Calka z sin i cos

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Calka z sin i cos

Post autor: soku11 » 22 paź 2007, o 23:15

WITAM!
Do policzenia tym razem takie cos:
\(\displaystyle{ \int sin^6xcos^4xdx}\)

Sam obliczam taka metoda:
\(\displaystyle{ \int sin^{4}xcos^{4}x sin^{2}xdx=
\frac{1}{16}\int sin^4(2x) sin^{2}xdx\\
f=sin^{2}x\quad g'=sin^{4}2x\\
f'=sin2x\\
g=\int sin^{2}2x(1-cos^{2}2x)dx=
t sin^{2}2xdx -\int sin^{2}2xcos^{2}2xdx=
t sin^{2}2xdx-\frac{1}{4}\int sin^{2}4xdx=??}\)


Jak to dalej rozwalic?? Moze jest jakas szybsza metoda niz kombinowanie na czesci?? POZDRO

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Calka z sin i cos

Post autor: ariadna » 22 paź 2007, o 23:21

Nie sprawdzałam po drodze, ale:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x=1-2sin^{2}x}\)
Analog:
\(\displaystyle{ cos4x=1-2sin^{2}2x}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}2x=\frac{1-cos4x}{2}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \int{sin^{2}2x\,dx}=\int{\frac{1-cos4x}{2}\,dx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\int{cos4x\,dx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin4x+C}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Calka z sin i cos

Post autor: soku11 » 22 paź 2007, o 23:40

No rzeczywiscie Wszystko jasne. Plus dla ciebie. POZDRO

ODPOWIEDZ