Matematyka.pl

Dana jest liczba x:

\(\displaystyle{ x = (a+2)^3 - (a-5)^3 }\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą. Udowodnij, że reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ 42}\) jest równa \(\displaystyle{ 7}\).

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia wyszło mi:

\(\displaystyle{ x = 21a^2 - 63 a + 133}\)

Jak dalej z tym ruszyć ?

AZS06 pisze: ↑5 mar 2023, o 11:38 \(\displaystyle{ x = 21a^2 - 63 a + 133}\)
Jak dalej z tym ruszyć ?

Choćby tak:
\(\displaystyle{ x = 21a^2 - 63 a + 133=7(3a(a-3)+3 \cdot 6+1)=42\left[ a \cdot \frac{a-3}{2} +3\right]+7 }\)
skoro \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzyste, to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a-3}{2}}\) jest liczbą całkowitą, więc...