Matematyka.pl

Witam.
Proszę o pomoc jak obliczyć \(\displaystyle{ | x_{1} - x _{2} | > 2 }\) w zadaniu o treści:

Dane jest równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrem \(\displaystyle{ m \in \RR}\):

\(\displaystyle{ mx^2 + (3m -5)x + 2m - 10 = 0.}\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie ma dwa pierwiastki o różnych znakach spełniające warunek \(\displaystyle{ |x_{1} - x _{2} | > 2. }\) Zapisz obliczenia.

Z góry dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{
\left| x_{1} - x _{2} \right| =\left| \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}-\frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} \right|=\left| \frac{-\sqrt{\Delta} }{a}\right|= \frac{\sqrt{\Delta} }{\left| a\right| } }\)
Warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ \frac{c}{a} <0 \\ \frac{\sqrt{\Delta} }{\left| a\right| } >2 \end{cases} }\)

Inaczej:
\(\displaystyle{ f(x)=mx^2 + (3m -5)x + 2m - 10 }\)
Warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a>0 \\ f(0)<0 \\ \frac{\sqrt{\Delta} }{ a } >2 \end{cases} \ \ \cup \ \ \begin{cases} a<0 \\ f(0)>0 \\ \frac{\sqrt{\Delta} }{ - a } >2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \frac {\sqrt{\Delta}}{|a|} > 2 \\
\\

\frac{|m+5|}{m} > 2 \cup \frac{|m + 5 |}{m} < -2
\\

?
\\

}\) ... jest OK ?

AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 11:59 \(\displaystyle{ \frac {\sqrt{\Delta}}{|a|} > 2 \\
\\

\frac{|m+5|}{m} > 2 \cup \frac{|m + 5 |}{m} < -2
\\

?
\\

}\) ... jest OK ?

Nie jest OK gdyż nie uwzględniasz znaku parametru \(\displaystyle{ m}\).

Ja pozbyłbym się wartości bezwzględnej tak:
\(\displaystyle{ \frac {\sqrt{\Delta}}{|a|} > 2\\ \frac{\Delta}{a^2} >4}\)

AZS06 pisze: 5 mar 2023, o 11:59 \(\displaystyle{ \frac{|m+5|}{m} > 2 \cup \frac{|m + 5 |}{m} < -2
}\) ... jest OK ?

No i nie jest OK, bo podobnie jak kerajs pomyliłeś \(\displaystyle{ \cup}\) z \(\displaystyle{ \lor.}\)

JK

\(\displaystyle{ \frac{(m+5)^2}{m^2} - 4 > 0}\)

\(\displaystyle{ ((m+5)^2 - 4m^2) m^2 > 0
...
\\
(-m + 5) (3m + 5) m^ 2 > 0 }\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{\Delta}{a^2} > 4 }\)

gdy

\(\displaystyle{ m \in (- \frac{5}{3} ; 0) \cup (0; 5).}\)

Dobrze rozwiązane ?

To poprawny wynik.
Nie musiałeś nierówności mnożyć przez \(\displaystyle{ m^4}\). Wystarczyłoby pomnożenie przez \(\displaystyle{ m^2}\), które jest już dodatnie.

Jan Kraszewski pisze: 5 mar 2023, o 12:35 No i nie jest OK, bo podobnie jak kerajs pomyliłeś \(\displaystyle{ \cup}\) z \(\displaystyle{ \lor.}\)

Istotnie. Mea culpa.