Matematyka.pl

Mam za zadanie obliczyć następującą granicę: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{4n^2+3n} -2n\right) }\)
Robię tak: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{4n^2+3n} -2n\right) = \lim_{ n\to \infty } \sqrt{4n^2+3n} - \lim_{ n \to \infty } (2n) = \lim_{ n\to \infty } n\sqrt{4+ \frac{3}{n} } - 2\lim_{ n \to \infty } n = \lim_{ n\to \infty } n \cdot \lim_{ n\to \infty } \sqrt{4+ \frac{3}{n} } - 2\lim_{ n \to \infty } n = 2\lim_{ n\to \infty } n - 2 \lim_{ n\to \infty } n =0}\)

Wiem, że odpowiedź jest zła i wiem, jak poprawnie obliczyć tę granicę. Zastanawia mnie, które przejście w powyższej metodzie jest błędne? Wydaje mi się, że to ostatnie, bo tam pojawia się symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right] }\). Mam rację, czy coś się psuje już wcześniej?

Już na samym wstępie, ale należy obliczac z \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{4n^2+3n} -2n\right) =\lim \frac{3n}{\sqrt{4n^2+3n} +2n } }\)

mol_ksiazkowy pisze: ↑1 mar 2023, o 16:45 Już na samym wstępie

Czyli nie mogę tego rozdzielić na różnicę granic? Dlaczego?

Niejednoznaczność. np
\(\displaystyle{ n-n}\)
\(\displaystyle{ n-2n}\)
\(\displaystyle{ 2n-n}\)
itd

inusia146 pisze: ↑1 mar 2023, o 16:50Czyli nie mogę tego rozdzielić na różnicę granic? Dlaczego?

Nie, nie ma twierdzenia, które na to pozwala.

JK

Pomnóż ten wyraz ciągu przez \(\displaystyle{ 1= \frac{\left( \sqrt{4n^2+3n} +2n\right)}{\left( \sqrt{4n^2+3n} +2n\right)} }\), to Ci wyjdzie.

Dilectus, wystarczyło uważnie przeczytać:

inusia146 pisze: ↑1 mar 2023, o 16:39Wiem, że odpowiedź jest zła i wiem, jak poprawnie obliczyć tę granicę.

JK