Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c }\) są długościami boków trójkąta, zaś \(\displaystyle{ R }\) jest długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, to:
\(\displaystyle{ a) a^{2}+b^{2}+c^{2}>8R^{2} }\), gdy trójkąt jest ostrokątny
\(\displaystyle{ b) a^{2}+b^{2}+c^{2}<8R^{2}}\) , gdy trójkąt jest rozwartokątny

Próbowałem twierdzeniem sinusów, ale na próbie się skończyło...

\(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C=2+2\cos A\cos B\cos C\)

(a)
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach: \(\displaystyle{ CBD, \ \ CAD}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 +BD^2 = 4r^2 \\ b^2 + AD^2 = 4R^2. \end{cases} }\)

Dodając stronami równania układu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + AD^2 + BD^2 = 8R^2 \ \ (1) }\)

Z twierdzenia kosinusów (Carnota) w trójkącie \(\displaystyle{ ADB }\) wynika, że

\(\displaystyle{ c^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD\cdot BD \cdot \cos(\delta) = AD^2 +BD^2 -2AD\cdot BD\cdot \cos(180^{o}- \gamma) = AD^2+BD^2+2AD\cdot BD\cdot\cos(\gamma) \ \ (2) }\)

Dla wartości \(\displaystyle{ 0^{o}< \gamma < 90^{o}, \ \ \cos(\gamma)>0. }\)

Stąd i z \(\displaystyle{ (2) \ \ c^2 > AD^2 + BD^2 \ \ (3)}\)

Z \(\displaystyle{ (3) }\) i z \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ a^2 +b^2 + c^2 > 8R^2 }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

(b) - podobnie

Nie bardzo rozumiem dlaczego te trójkąty muszą być prostokątne?

arek1357 pisze: 16 lut 2023, o 23:17 Nie bardzo rozumiem dlaczego te trójkąty muszą być prostokątne?

Bo są oparte na średnicy.

JK

To też brałem pod uwagę, ale nie zauważyłem takiego właśnie założenia w zadaniu...

Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
Trójkąt zadaniowy nie jest prostokątny, ale ok już zaczynam kumać co Janusz miał na myśli...

Dodano po 5 minutach 13 sekundach:
Dzięki za roświetlenie sytuacji...

Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę \(\displaystyle{ 90^{o}. }\)

janusz47 pisze: 17 lut 2023, o 11:19 Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę \(\displaystyle{ 90^{o}. }\)

Kłopot w tym, że nigdzie nie napisałeś, że to jest średnica.

a4karo pisze: 17 lut 2023, o 15:05Kłopot w tym, że nigdzie nie napisałeś, że to jest średnica.

Ale masz rysunek, na którym wszystko widać, więc nie masz się co czepiać.

JK