Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ |x+y|+|x-y| \leq 2}\) jest równoważne \(\displaystyle{ |x| \leq 1}\) i \(\displaystyle{ |y| \leq 1.}\)

Tu i tu kwadrat ABCD

\(\displaystyle{ A(-1,-1) ; B(1,-1) ; C(1,1) ; D(-1,1) }\)

Jak ktoś nie wierzy niech policzy...

Oba warunki sa niezmiennicze na takie przekształcenia: `x->\pm x, y\to\pm y, x\to \pm y, y\to \pm x`, więc wystarczy sprawdzić równoważnośc w obszarze `0\le y\le x`. A w tym obszarze oba warunki mówią to samo: `0\le x\le 1`

\(\displaystyle{ |x+y|+|x-y|=2\max \left\{|x|,|y|\right\}}\).
Stąd natychmiast dostajemy tezę.

kontrprzykład: \(x=1\), \(y=i\)

Słaby kontrprzykład bo:

\(\displaystyle{ x,y \in \RR}\)

Jak tu wprowadzę kwaterniony to będzie dopiero Meksyk...

To jest bardzo dobry kontrprzykład wskazujący na to, że w zadaniu brakuje właśnie wspomnianego przez Ciebie założenia.

JK

Tak masz rację ale jak przyjmiemy założymy, że będą zespolone to mamy już przestrzeń czterowymiarową i np. drugi warunek daje nam przecięcia się wnętrza dwóch walców w 4D a pierwszy warunek daje chyba wnętrze jakiejś też zamkniętej powierzchni 3D w 4D i niekoniecznie wtedy te dwa hirper -zbiory będą równe...Mogą mieć jedynie niepuste przecięcie...

Jan Kraszewski pisze: ↑15 lut 2023, o 21:05 To jest bardzo dobry kontrprzykład wskazujący na to, że w zadaniu brakuje właśnie wspomnianego przez Ciebie założenia.

JK

Pewnie tak, bo coś uświadamia. Natomiast uważam, że użycie `x,y` zamiast `z,w` dośc dobrze określa kontekst zadania. Na podobnej zasadzie (i to nie raz dyskutanci na tym forum) nikt nie uzna że `\lim_n\to\infty}` to granica funkcji (choć przecież nie ma do tego żadnych przeciwwskazań).

Pewnie tak, bo coś uświadamia. Natomiast uważam, że użycie x, y zamiast z, w dość dobrze określa kontekst zadania.

Właśnie tak bo nasz mózg jest tak skonstruowany i nastawiony na odbiór bodźców w taki a nie inny sposób...