Wyprowadzic wzór.... dwumian newtona

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Asiuk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 16 paź 2007, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Wyprowadzic wzór.... dwumian newtona

Post autor: Asiuk » 22 paź 2007, o 21:57

Gdyby znalazł się ktoś chętny to prosze o wyprowadzenie wzoru:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^{2}{n\choose k}}\)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Wyprowadzic wzór.... dwumian newtona

Post autor: andkom » 23 paź 2007, o 00:49

Dla n>1 mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nk^2\binom nk
=\sum_{k=1}^nk^2\binom nk
=\sum_{k=1}^nk(k-1)\binom nk+\sum_{k=1}^nk\binom nk=\\
=\sum_{k=2}^nk(k-1)\binom nk+\sum_{k=1}^nk\binom nk
=\sum_{k=2}^n(k-1)n\binom {n-1}{k-1}+\sum_{k=1}^nn\binom {n-1}{k-1}=\\
=\sum_{k=2}^nn(n-1)\binom {n-2}{k-2}+\sum_{k=1}^nn\binom {n-1}{k-1}
=n(n-1)\sum_{k=2}^n\binom {n-2}{k-2}+n\sum_{k=1}^n\binom {n-1}{k-1}=\\
=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=(n^2+n)2^{n-2}}\)


Dla n=0 oraz n=1 licząc bezpośrednio sprawdzamy, że też \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nk^2\binom nk=(n^2+n)2^{n-2}}\)

Asiuk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 16 paź 2007, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Wyprowadzic wzór.... dwumian newtona

Post autor: Asiuk » 23 paź 2007, o 01:01

andkom dzięki wielkie

ODPOWIEDZ