Matematyka.pl

Funkcje
1. Dowiedz, że odwzorowanie \(\displaystyle{ R: A \rightarrow B \ }\) jest bijekcją \(\displaystyle{ \ \Leftrightarrow \ }\) gdy \(\displaystyle{ i_A=R \circ R ^{-1}.}\)

Relacje porządkujące
2. Niech \(\displaystyle{ A = \{0, 1, 2, 3\} }\) i \(\displaystyle{ R = \{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (0,2)\}}\) jest częściowym porządkiem. Znajdź minimalny, maksymalny, najmniejszy, największy element w \(\displaystyle{ A}\).

Czy ktoś jest w stanie wytłumaczyć jak podejść do tych zadań i je rozwiązać lub ma dobre źródło z dobrze wytłumaczonymi zadaniami tego typu?

Ad 1 Pokazujesz osobno dwa wynikania.
Ad 2 Narysuj diagram Hassego tego porządku.

JK

W 2. mam narysować diagram Hassego ok. Tylko co oznaczają wartości w R - częściowym porządku ? Jak wpływają na wyniki w tym zadanaiu?

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 48 sekundach:
Dobra, chyba rozumiem. Diagram będzie wyglądał następująco: tylko 0 będzie połączone z 2, reszta (1 i 3) będzie bez żadnego połączenia.
El. minimalny = 0, 1, 3
El. maksymalny = 1, 2, 3
El. największy = \(\displaystyle{ \emptyset}\)
El. najmniejszy = \(\displaystyle{ \emptyset}\)

Dobrze?

Rotcart pisze: ↑7 lut 2023, o 23:02Tylko co oznaczają wartości w \(\displaystyle{ R}\) - częściowym porządku ? Jak wpływają na wyniki w tym zadanaiu?

To są elementy tej relacji - relacja to w końcu zbiór par. Pierwsze cztery pary nic nie wnoszą, one muszą być, by relacja była zwrotna. Zatem jeśli chodzi o diagram Hassego, to istotna jest tylko ostatnia para. Fakt, że należy ona do porządku \(\displaystyle{ R}\) oznacza, że \(\displaystyle{ 0}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\) (w tym porządku) - i nic poza tym (bo nie ma już innych par w tej relacji).

Dodano po 4 minutach 37 sekundach:

Rotcart pisze: ↑8 lut 2023, o 00:18Dobra, chyba rozumiem. Diagram będzie wyglądał następująco: tylko 0 będzie połączone z 2, reszta (1 i 3) będzie bez żadnego połączenia.

OK.

Rotcart pisze: ↑8 lut 2023, o 00:18El. minimalny = 0, 1, 3
El. maksymalny = 1, 2, 3

Odpowiedź dobra, ale zapis słaby. Albo "El. minimalne to \(\displaystyle{ 0,1,3}\)" albo "zbiór elementów minimalnych to \(\displaystyle{ \{0,1,3\}}\)".

Rotcart pisze: ↑8 lut 2023, o 00:18El. największy = \(\displaystyle{ \emptyset}\)
El. najmniejszy = \(\displaystyle{ \emptyset}\)

Myśl słuszna, zapis zupełnie niepoprawny - el. najmniejszym jest zbiór pusty?! Poprawna odpowiedź to "Nie ma elementu najmniejszego" itd.

JK

Rotcart pisze: ↑6 lut 2023, o 20:04 1. Dowiedz, że odwzorowanie \(\displaystyle{ R: A \rightarrow B \ }\) jest bijekcją \(\displaystyle{ \ \Leftrightarrow \ }\) gdy \(\displaystyle{ i_A=R \circ R ^{-1}.}\)

Chyba tylko jedno wynikanie jest zawsze prawdziwe.

Dlaczego?

Żeby funkcja \(\displaystyle{ R:A\rightarrow B}\) była bijekcją, to musi być zarówno \(\displaystyle{ R\circ R^{-1}=\mathrm{id}_B}\) jak i \(\displaystyle{ R^{-1}\circ R=\mathrm{id}_A}\), bo sam warunek \(\displaystyle{ R^{-1}\circ R=\mathrm{id}_A}\) spełnia każda funkcja różnowartościowa.

Dodano po 8 minutach 17 sekundach:
Teraz widzę, że w treści zadania jest chyba błąd, bo dziedziną i przeciwdziedziną relacji \(\displaystyle{ R\circ R^{-1}}\) powinno być \(\displaystyle{ B}\), a nie \(\displaystyle{ A}\). Jeśli przyjąć założenie, że \(\displaystyle{ R:A\rightarrow B}\) jest funkcją oraz \(\displaystyle{ R\circ R^{-1}=\mathrm{id}_B}\), to to jednak wystarcza.

Dodano po 10 minutach 30 sekundach:
To jednak nie wystarcza, bo relacja odwrotna nie musi być funkcją.

Ja najpierw chciałbym się dowiedzieć, jakich definicji używa autor, czyli co dokładnie oznacza to zadanie.

JK